高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大版必修12整理文档格式.docx

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y＝bax＋c（a,b，c为常数，b≠0，a〉0且a≠1）

（4）对数函数模型

y＝mlogax＋n（m，a，n为常数，m≠0,a〉0且a≠1）

（5）幂函数模型

y＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）

（6）分段函数模型

y＝

【预习评价】

1．

（1）斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？

（2）在幂函数模型的解析式中，α的正负如何影响函数的单调性？

提示　

（1）k>

0时直线必经过一、三象限,y随x的增大而增大；

k〈0时直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．

（2）当x>

0，α>

0时,函数的图像在第一象限内是上升的，在（0，＋∞）上为增函数；

当x〉0，α〈0时，函数的图像在第一象限内是下降的，在（0，＋∞）上为减函数．

2．

（1）依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什么性质？

（2）数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？

提示　

（1）主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢．

（2）因为根据已给的数据，作出散点图，根据散点图

选择我们比较熟悉的、最简单的函数进行拟合，但用得到的函数进行估计时，可能误差较大或不切合客观实际，此时就要再改选其他函数模型．

知识点二　解决函数应用问题的基本步骤

利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：

（一）审题；

（二）建模；

（三）求模；

（四）还原．

这些步骤用框图表示如图：

1．某种放射性元素的原子数y随时间x的变化规律是y＝1024e－5x，则（　　）

A．该函数是增函数B．该函数是减函数

C．x＝－lgD．当x＝0时，y＝1

解析　显然该函数是减函数，B正确，C，D变形或求值错误．

答案　B

2．某物体一天内的温度T是时间t的函数T（t）＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃,t＝0时表示中午12：

00,则上午8：

00时的温度为________℃．

解析　由于t＝0时表示中午12：

00，则上午8：

00时t＝－4，代入函数T（t）＝t3－3t＋60中，可得T（－4）＝8．

答案　8

题型一　一次函数、二次函数模型

【例1】　某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数：

m＝162－3x,若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（　　）

A．30元B．42元

C．54元D．越高越好

解析　设每天获得的利润为y元，则

y＝（x－30）（162－3x）＝－3（x－42）2＋432,

∴当x＝42时，获得利润最大，应定价为42元．

规律方法　一次函数、二次函数均是重要的函数模型,特别是二次函数模型在函数建模中占有重要的地位．利用二次函数求最值时要注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．

【训练1】　某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示,由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（　　）

A．310元B．300元

C．290元D．280元

解析　由题意可知,收入y是销售量x的一次函数，设y＝ax＋b（a≠0），将（1,800），（2，1300）代入,得a＝500,b＝300.当销售量为x＝0时，y＝300．

题型二　指数型函数、对数型函数模型

【例2】　燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5log2，单位是m/s,其中Q表示燕子的耗氧量．

（1）计算：

燕子静止时的耗氧量是多少个单位？

（2）当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少?

解　

（1）由题意知，当燕子静止时,它的速度为0，代入题目所给公式可得0＝5log2．

解得Q＝10，即燕子静止时的耗氧量为10个单位．

（2）将耗氧量Q＝80代入公式得：

v＝5log2＝5log28＝15（m/s），

即当一只燕子的耗氧量为80个单位时,飞行速度为15m/s．

规律方法　指数型函数模型：

y＝max＋b（a>

0且a≠1,m≠0）,在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．对数型函数模型：

y＝mlogax＋c（m≠0，a〉0且a≠1）,对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．

【训练2】　某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2％，试解答以下问题：

（1）写出经过x年后，该城市人口总数y（万人）与x（年）的函数关系；

（2）计算10年后该城市人口总数（精确到0。

1万人）；

（3）计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人（精确到1年）．

（参考数据：

1.0129≈1.113，1.01210≈1.127,lg1。

2≈0.079，lg2≈0.3010，lg1.012≈0.005）．

解　

（1）2009年底人口总数为100万人,

经过1年，2010年底人口总数为100＋100×

1。

2％＝100×

（1＋1。

2%），

经过2年，2011年底人口总数为100×

2%）＋100×

（1＋1.2％）×

1.2％＝100×

（1＋1.2％）2,

经过3年,2012年底人口总数为100×

2%）2＋100×

2％）2×

（1＋1.2%）3,

……

所以经过x年后，该城市人口总数为100×

2%）x,

所以y＝100×

2％）x．

（2）10年后该城市人口总数为

100×

（1＋1.2％）10≈112。

7（万人）．

（3）由题意得100×

（1＋1.2％）x〉120，

两边取常用对数得lg［100×

2％）x]〉lg120，

整理得2＋xlg1.012>

2＋lg1。

2，得x≥16，

所以大约16年以后,该城市人口将达到120万人．

题型三　分段函数模型

【例3】　如图所示，等腰梯形ABCD的两底分别为AD＝2,BC＝1,∠BAD＝45°

，直线MN⊥AD交AD于M,交折线ABCD于N，记AM＝x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域．

解　如图,过B，C分别作AD的垂线，垂足分别为H和G，

则AH＝，AG＝,

当M位于H左侧时，AM＝x，MN＝x，

∴y＝S△AMN＝x2，0≤x〈．

当M位于H，G之间时，y＝AH·

HB＋HM·

MN＝×

×

＋×

＝x－，≤x<

．

当M位于G，D之间时，y＝S梯形ABCD－S△MDN＝×

（2＋1）－（2－x）（2－x）＝－x2＋2x－,≤x≤2．

∴所求函数的关系式为

∴函数的定义域为［0,2］,值域为．

规律方法　1。

分段函数模型是日常生活中常见的函数模型．对于分段函数，一要注意规范书写格式；

二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏"

2．解决分段函数问题需注意几个问题：

（1）所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．

（2）求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值,然后再用该区间上的解析式来计算函数值．（3）一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围．

【训练3】　通过研究学生的学习行为，心理学家发现,学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明,用f（x）表示学生掌握和接受概念的能力（f（x）值越大，表示接受的能力越强），x表示提出和讲授概念的时间（单位：

min），可有以下的公式:

f（x）＝

（1）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？

能维持多长时间？

（2）开讲后5min与开讲后20min比较，学生的接受能力何时强一些?

（3）一个数学难题,需要55的接受能力以及13min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题?

解　

（1）当0〈x≤10时，

f（x）＝－0。

1x2＋2.6x＋43＝－0.1（x－13）2＋59.9．

故f（x）在（0，10］上单调递增,最大值为

f（10）＝－0.1×

（－3）2＋59.9＝59；

当16〈x≤30时，f（x）单调递减，

f（x）<

－3×

16＋107＝59．

因此，开讲后10min，学生达到最强的接受能力（值为59）,并维持6min．

（2）f（5）＝－0。

1×

（5－13）2＋59。

9＝59。

9－6。

4＝53.5，f（20）＝－3×

20＋107＝47<

53。

5＝f（5）．

因此，开讲后5min学生的接受能力比开讲后20min强一些．

（3）当0〈x≤10时，令f（x）＝55，

则－0。

（x－13）2＝－4。

9，（x－13）2＝49．

所以x＝20或x＝6。

但0〈x≤10,

故x＝6．

当16<

x≤30时，令f（x）＝55，则－3x＋107＝55．

所以x＝17．

因此，学生达到（或超过）55的接受能力的时间为

17－6＝11<

13（min），所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.

互动

探究

　题型四　拟合函数模型的应用

【探究1】　图中一组函数图像,它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：

情境A：

一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度（将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻）；

情境B：

一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值（它被一个爱好者收藏,并且被保存得很好）；

情境C：

从你刚开始放水洗澡,到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；

情境D：

根据乘客人数,每辆公交车一趟营运的利润．

其中情境A，B，C，D分别对应的图像是________．

解析　对于A，加热时升温快,然后再变凉,易知为①；

对于B,这时的物品价值先下降,直到收藏后价值才会升值，因此显然为③；

对于C，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为④;

对于D，乘客人数越多，利润越大,显然是②．

答案　①③④②

【探究2】　环境污染已经严重危害人们的健康,某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度下表:

月数

1

2

3

4

…

污染度

60

31

13

污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个