届高考数学理二轮复习讲学案考前专题3 三角函数解三角形与平面向量 第3讲 平面向量Word文档格式.docx
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故有t=,故选A.
思维升华
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意平面向量基本定理的灵活运用.
(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.
跟踪演练1
(1)(2017·
河北省衡水中学三调)在△ABC中,=,P是直线BN上的一点,若=m+,则实数m的值为( )
A.-4B.-1C.1D.4
答案 B
解析 因为=+=+k
=+k=(1-k)+,
且=m+,所以
解得k=2,m=-1,故选B.
(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于( )
A.(-5,-10)B.(-4,-8)
C.(-3,-6)D.(-2,-4)
解析 因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,
所以m+4=0,m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选B.
热点二 平面向量的数量积
1.数量积的定义:
a·
b=|a||b|cosθ.
2.三个结论
(1)若a=(x,y),则|a|==.
(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=.
(3)若非零向量a=(x1,y1),非零向量b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
则cosθ==.
例2
(1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足=+,则·
的值为( )
A.2B.-
C.D.-2
解析 因为=-,=-,则·
=,
即·
=2-·
+2=2-+=2,故选A.
(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(,),则|a+2b|等于( )
A.2B.
C.D.2
解析 向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a-b=(,),
可得|a-b|2=5,即|a|2+|b|2-2a·
b=5,解得a·
b=0.
|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·
b=1+16=17,
所以|a+2b|=.故选B.
思维升华
(1)数量积的计算通常有三种方法:
数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
跟踪演练2
(1)(2017·
全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·
(+)的最小值是( )
A.-2B.-C.-D.-1
解析 方法一 (解析法)
建立平面直角坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标分别为A(0,),B(-1,0),C(1,0).
图①
设P点的坐标为(x,y),
则=(-x,-y),
=(-1-x,-y),
=(1-x,-y),
∴·
(+)=(-x,-y)·
(-2x,-2y)
=2(x2+y2-y)=2≥2×
=-.
当且仅当x=0,y=时,·
(+)取得最小值,最小值为-.故选B.
方法二 (几何法)
如图②所示,+=2(D为BC的中点),则·
(+)=2·
.
图②
要使·
最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·
)min=-2||||,问题转化为求||·
||的最大值.
又||+||=||=2×
∴||||≤2=2=,
当且仅当||=||时取等号,
∴[·
(+)]min=(2·
)min=-2×
=-.故选B.
(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,则|a+2b|=________.
答案 2
解析 因为|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=,
故a·
b=2cos〈a,b〉=-1,则(a+2b)2=a2+4a·
b+4b2=4-4+4=4,即|a+2b|=2.
热点三 平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.
例3 (2017·
江苏)已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-),x∈[0,π].
(1)若a∥b,求x的值;
(2)记f(x)=a·
b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.
解
(1)因为a=(cosx,sinx),b=(3,-),a∥b,
所以-cosx=3sinx.
若cosx=0,则sinx=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,
故cosx≠0.
于是tanx=-.
又x∈[0,π],所以x=.
(2)f(x)=a·
b=(cosx,sinx)·
(3,-)
=3cosx-sinx=2cos.
因为x∈[0,π],所以x+∈,
从而-1≤cos≤,
于是,当x+=,即x=0时,f(x)取得最大值3;
当x+=π,即x=时,f(x)取得最小值-2.
思维升华 在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;
另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.
跟踪演练3 已知平面向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),c=(-cosx,-sinx),x∈R,函数f(x)=a·
(b-c).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f
=,求sinα的值.
解
(1)因为a=(sinx,cosx),b=(sinx,-cosx),
c=(-cosx,-sinx),
所以b-c=(sinx+cosx,sinx-cosx),
f(x)=a·
(b-c)=sinx(sinx+cosx)+cosx(sinx-cosx)
=sin2x+2sinxcosx-cos2x
=sin2x-cos2x=sin.
当2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z时,函数f(x)为减函数.
所以函数f(x)的单调递减区间是,k∈Z.
(2)由
(1)知,f(x)=sin,
又f
则sin=,sin=.
因为sin2+cos2=1,
所以cos=±
又sinα=sin=sincos+cossin,
所以当cos=时,
sinα=×
+×
=;
当cos=-时,
-×
=.
综上,sinα=.
真题体验
1.(2017·
北京改编)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<
0”的___________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
答案 充分不必要
解析 方法一 由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°
,
∴m·
n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°
<θ<180°
时,m·
n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·
n<0”的充分不必要条件.
方法二 ∵m=λn,∴m·
n=λn·
n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·
n<0.
反之,由m·
n=|m||n|cos〈m,n〉<
0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,当〈m,n〉∈时,m,n不共线.
2.(2017·
山东)已知e1,e2是互相垂直的单位向量,若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°
,则实数λ的值是________.
答案
解析 由题意知|e1|=|e2|=1,e1·
e2=0,
|e1-e2|====2.
同理|e1+λe2|=.
所以cos60°
====,
解得λ=.
3.(2017·
天津)在△ABC中,∠A=60°
,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·
=-4,则λ的值为________.
解析 由题意知||=3,||=2,
·
=3×
2×
cos60°
=3,
=+=+=+(-)=+,
=·
(λ-)=·
-2+2
=×
3-×
32+×
22=λ-5=-4,解得λ=.
4.(2017·
北京)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·
的最大值为________.
答案 6
解析 方法一 根据题意作出图象,如图所示,A(-2,0),P(x,y).
由点P向x轴作垂线交x轴于点Q,则点Q的坐标为(x,0).
=||||cosθ,
||=2,||=,
cosθ==,
所以·
=2(x+2)=2x+4.
点P在圆x2+y2=1上,所以x∈[-1,1].
的最大值为2+4=6.
方法二 如图所示,因为点P在圆x2+y2=1上,
所以可设P(cosα,sinα)(0≤α<2π),
所以=(2,0),=(cosα+2,sinα),
=2cosα+4≤2+4=6,
当且仅当cosα=1,即α=0,P(1,0)时“=”号成立.
押题预测
1.如图,在△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,BC边上的中线AM交DE于N,设=a,=b,用a,b表示向量,则等于( )
A.(a+b)B.(a+b)
C.(a+b)D.(a+b)
押题依据 平面向量基本定理是向量表示的基本依据,而向量表示(用基底或坐标)是向量应用的基础.
解析 因为DE∥BC,所以DN∥BM,
则△AND∽△AMB,所以=.
因为=,
所以=.
因为M为BC的中点,
所以=(+)=(a+b),
所以==(a+b).
故选C.
2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则·
等于( )
A.-B.-C.-D.-
押题依据 数量积是平面向量最重要的概念,平面向量数量积的运算是高考的必考内容,和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式.
解析 ∵=2,圆O的半径为1,∴||=,
=(+)·
(+)=2+·
(+)+·
=2+0-1=-.
3