届高三理科数学答题模板 数列的综合应用Word文档下载推荐.docx

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【等比数列】

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。

等比数列的性质：

在等比数列｛an｝中，有 

（1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；

当m+n=2p时，aman=ap2；

（2）若m，n∈N*，则am=anqm-n；

（3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列；

（4）下标成等差数列的项构成等比数列；

（5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列；

2）a1＜0，q＞1，则｛an｝为递减数列；

3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列；

4）a1＜0，0＜q＜1，则｛an｝为递增数列；

5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；

若q＝1，则｛an｝为常数列。

2017年高考全国1卷，理12

几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：

已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：

N>

100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是

A．440B．330C．220D．110

【答案】A

【考点】等差数列、等比数列的求和.

【点拨】本题非常巧妙的将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断.

答题思路

【命题意图】1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2．掌握非等差、非等比数列求和的几种常见方法.

【命题规律】从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点，尤其是等差、等比数列的求和公式、错位相减求和及裂项相消求和为考查的重点，常与函数、方程、不等式等联系在一起综合考查，考查内容比较全面，多为解答题的形式呈现，解题时要注意基本运算、基本能力的运用，同时注意函数与方程、转化与化归等数学思想的应用.

【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下三步：

第一步：

分析数列特征由题意得，数列如下：

，它是由组等比数列构成，每组数列均是公比为2的数列，并且项数逐渐增加；

第二步：

根据条件求和则该数列的前项和为

第三步：

抓住限制条件求结果要使，有，此时，所以是之后的等比数列的部分和，即，所以，则，此时，对应满足的最小条件为

【方法总结】

1.求数列前n项和的常用方法

1）分组求和法

分组转化法求和的常见类型

（1）若an＝bn±

cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.

（2）通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.

提醒：

某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论.

2）裂项相消法

把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.

如：

是公差为的等差数列，求

解：

由

∴

3）错位相减法

若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比.

①

②

①—②

时，，时，

4）倒序相加法

把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.

相加

2.数列与函数综合

（1）数列与函数的综合问题主要有以下两类：

①已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；

②已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．

（2）解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决．

3.数列与不等式综合

与数列有关的不等式的命题常用的方法有：

比较法（作差作商）、放缩法、利用函数的单调性、数学归纳法证明，其中利用不等式放缩证明是一个热点，常常出现在高考的压轴题中，是历年命题的热点．利用放缩法解决“数列+不等式”问题通常有两条途径：

一是先放缩再求和，二是先求和再放缩．

4．以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解；

5.以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，有时利用放缩法证明．

1.【2017年高考全国Ⅰ卷，理4】

记为等差数列的前项和，若，则的公差为（）

A．1B．2C．4D．8

【答案】C

【解析】

联立求得得

选C

2.【2017年高考全国Ⅱ卷，理15】

等差数列的前项和为，，，则。

【答案】

试题分析：

设等差数列的首项为，公差为，

由题意有：

，解得，

数列的前n项和,

裂项有：

，据此：

【考点】等差数列前n项和公式；

裂项求和。

【点拨】等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。

数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。

使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的。

3.【2017年高考全国Ⅲ卷，理9】

等差数列的首项为1，公差不为0．若，，成等比数列，则前6项的和为（）

A．B．C．3D．8

【答案】A

【解析】∵为等差数列，且成等比数列，设公差为.

则，即

又∵，代入上式可得

又∵，则

∴，故选A.

4.【2017年高考北京卷，理10】

若等差数列和等比数列满足a1=b1=–1，a4=b4=8，则=_______.

【答案】1

设等差数列的公差和等比数列的公比为和，，求得，那么.

【考点】等差数列和等比数列

【点拨】我们知道,等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.

5.【2017年高考江苏卷，理9】

等比数列的各项均为实数,其前项的和为,已知,则=▲.

【答案】32

【解析】当时，显然不符合题意；

当时，，解得，则.

【考点】等比数列通项

【点拨】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;

二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.

6.【2017年高考山东卷，理19】

已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1（x1,1），P2（x2,2）…Pn+1（xn+1,n+1）得到折线P1P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积.

因为,所以，

因此数列的通项公式为

（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,

由（I）得

记梯形的面积为.

由题意，

所以

……+$来&

源：

=……+

又……+

【考点】1.等比数列的通项公式；

2.等比数列的求和；

3.“错位相减法”.

【点拨】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的“错位相减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好的考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等.

7.【2017年高考天津卷，理18】

已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，

，.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前n项和.

【答案】

（1）..

（2）.

根据等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程求出等差数列首项和公差及等比数列的公比，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确.

（II）解：

设数列的前项和为，

由，，有，

故，

，

上述两式相减，得

得.

所以，数列的前项和为.

【考点】等差数列、等比数列、数列求和

【点拨】利用等差数列和等比数列通项公式及前项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.

8.2017陕西铁一中模考】已知，我们把使乘积…为整数的数叫做“优数”，则在区间（1,2004）内的所有优数的和为（）

A.1024B.2003C.2026D.2048

【答案】C

【解析】试题分析：

∵为整数，此时，

为整数，此时，

以此类推：

在区间（1,2004）内的所有优数为2,6,14,30,…1022，

∴通项公式为，

∴.

9.【2017江西抚州七校联考】若数列满足，且，则数列的第100项为（）

A．2B．3

C．D．

【答案】B

10.【2017湖南师大附中月考】已知数