特殊平行四边形的综合练习Word文档下载推荐.docx
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c.原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时,四边形EFGH是正方形.
4.如图所示,在△ABC中,分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD,
等边△ACE、等边△BCF.
(1)求证:
四边形DAEF是平行四边形;
(2)探究下列问题:
(只填满足的条件,不需证明)
①当△ABC满足_________条件时,四边形DAEF是矩形;
②当△ABC满足_________条件时,四边形DAEF是菱形;
③当△ABC满足_________条件时,以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
5.如图所示,在四边形ABCD中,点E、F是对角线BD上的两点,且BE=FD.
(1)若四边形AECF是平行四边形,求证:
四边形ABCD是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形,那么四边形ABCD也是菱形吗?
为什么?
(3)若四边形AECF是矩形,试判断四边形ABCD是否为矩形,不必写理由.
6.如图,任意四边形ABCD,对角线AC、BD交于O点,过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线,四条平行线围成一个四边形EFGH.试想当四边形ABCD的形状发生改变时,四边形EFGH的形状会有哪些变化?
完成以下题目:
(1)①当ABCD为任意四边形时,EFGH为___________;
②当ABCD为矩形时,EFGH为___________;
③当ABCD为菱形时,EFGH为___________;
④当ABCD为正方形时,EFGH为___________;
(2)请对
(1)中①②你所写的结论进行证明.
(3)反之,当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时,相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件?
7.如图,在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,P、Q分别是BM、DN的中点.
△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形?
请说明理由.
8.在折纸这种传统手工艺术中,蕴含许多数学思想,我们可以通过折纸得到一些特殊图形.把一张正方形纸片按照图①~④的过程折叠后展开.
(1)猜想四边形ABCD是什么四边形;
(2)请证明你所得到的数学猜想.
9.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=5cm,BC=8cm,M是CD的中点,P是BC边上的一动点(P与B,C不重合),连接PM并延长交AD的延长线于Q.
(1)试说明△PCM≌△QDM;
(2)当P在B、C之间运动到什么位置时,四边形ABPQ是平行四边形?
并说明理由.
10.如图,矩形ABCD中,AB=5cm,BC=10cm,动点M从点D出发,按折线DCB方向以2cm/s的速度运动,动点N从点D出发,沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动.动点M、N同时出发,当一个点到达终点时,另一个点也随即停止运动.
(1)若点E在线段BC上,且BE=4cm,经过几秒钟,点A、E、M、N组成平行四边形?
(2)动点M、N在运动的过程中,线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点?
如果线段MN过此交点,请求出运动的时间;
如果线段MN不过此交点,请说明理由.
11.如图,已知,在四边形ABCD中,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A=120°
,CD=4,∠ABC=∠DCB,求BC的长.
12.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3.求:
四边形ABCD的面积.
课后练习参考答案
题一:
C.
详解:
A.对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形,故本选项错误;
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形,故本选项错误;
C.四边相等的四边形是菱形,故本选项正确;
D.矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,故本选项错误;
故选C.
题二:
选项A的结论正确,AB=CD可判定为平行四边形,AO=DO可判定对角线相等,故是矩形;
选项B的结论正确,AB=AD可判定△ABD为等边三角形,AO=CO可判定△CDB也为等边三角形,故是菱形;
选项C的结论错误,判定结果为矩形,不一定是正方形;
选项D的结论正确,对角线相等的梯形是等腰梯形;
题三:
见详解.
①连接AC,BD,
∵四边形ABCD中,E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点,
∴EH∥BD,FG∥BD,∴EH∥FG,同理:
GH∥EF,∴四边形EFGH是平行四边形.
②a.当AC⊥BD时,四边形EFGH是矩形.∵由①得:
四边形MONH是平行四边形,
∴当AC⊥BD时,四边形MONH是矩形,∴∠EHG=90°
,∴四边形EFGH是矩形.
b.当AC=BD时,四边形EFGH是菱形.∵HG=AC,EH=BD,
∴EH=GH,∴四边形EFGH是菱形;
c.由a与b可得:
原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时,
四边形EFGH是正方形.
故答案为:
a.AC⊥BD,b.AC=BD,c.AC⊥BD且AC=BD.
题四:
(1)∵△ABD和△FBC都是等边三角形,∴BD=BA,BF=BC,∠DBA=∠FBC=60°
,
∴∠DBA∠FBA=∠FBC∠FBA,∴∠DBF=∠ABC.
在△ABC和△DBF中,BA=BD,∠ABC=∠DBF,BC=BF,
∴△ABC≌△DBF.∴AC=DF=AE.同理△ABC≌△EFC.∴AB=EF=AD.
∴四边形ADFE是平行四边形.
(2)当∠BAC=150°
,∠DAE=360°
60°
150°
=90°
,∴平行四边形DAEF是矩形.
当AB=AC≠BC,有AD=AE,∴平行四边形DAEF是菱形.
当∠BAC=60°
,△FBC与△ABC重合,故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.
题五:
连AC,设AC、BD相交于点O,
(1)∵四边形AECF是平行四边形,∴OE=OF,OA=OC,
∵BE=FD,∴OB=OD.∴四边形ABCD是平行四边形;
(2)∵四边形AECF是菱形,∴OE=OF,OA=OC,AC⊥BD.
∵BE=FD,∴OB=OD.∴四边形ABCD是菱形;
(3)四边形ABCD不是矩形.
题六:
(1)平行四边形;
菱形;
矩形;
正方形;
(2)结合图形,联想特殊四边形的特征及识别很容易发现,其中的桥梁为AC、BD.
①当ABCD为任意四边形时,EFGH为平行四边形.
∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH,∴四边形EFGH为平行四边形.
②若ABCD为矩形,则EFGH为菱形.
∵EH∥AC∥FG,EF∥BD∥GH.
∴四边形EACH,ACGF,EFBD,BDHG,EFGH均为平行四边形.
∴EH=AC=FG,EF=BD=GH.
∵四边形ABCD为矩形.∴AC=BD.∴EH=AC=FG=EF=BD=GH.
∴四边形EFGH为菱形.
(3)当平行四边形EFGH是矩形时,四边形ABCD必须满足:
对角线互相垂直.
当平行四边形EFGH是菱形时,四边形ABCD必须满足:
对角线相等.
题七:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,∠A=∠C=90°
∵在矩形ABCD中,M、N分别是AD、BC的中点,∴AM=AD,CN=BC,∴AM=CN,
在△MAB和△NDC中,∵AB=CD,∠A=∠C=90°
,AM=CN,∴△MBA≌△NDC;
(2)四边形MPNQ是菱形.
理由如下:
连接AP,MN,则四边形ABNM是矩形,
∴AN和BM互相平分,则A,P,N在同一条直线上,
易证:
△ABN≌△BAM,∴AN=BM,
∵△MAB≌△NDC,∴BM=DN,
∵P、Q分别是BM、DN的中点,∴PM=NQ,
∵DM=BN,DQ=BP,∠MDQ=∠NBP,
∴△MQD≌△NPB,∴四边形MPNQ是平行四边形,
∵M是AD中点,Q是DN中点,∴MQ=AN,∴MQ=BM,
∵MP=BM,∴MP=MQ,∴平行四边形MQNP是菱形.
题八:
(1)四边形ABCD是菱形;
(2)∵△AMG沿AG折叠,使AM落在AC上,
∴∠MAD=∠DAC=∠MAC,同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN,
∠DCA=∠MCD=∠ACM,∠ACB=∠NCB=∠ACN,
∵四边形AMCN是正方形,∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA,
∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA,
∴AD∥BC,AB∥DC,∴四边形ABCD为平行四边形,
∵∠DAC=∠DCA,∴AD=CD,∴四边形ABCD为菱形.
题九:
(1)∵AD∥BC,∴∠QDM=∠PCM,
∵M是CD的中点,∴DM=CM,
∵∠DMQ=∠CMP,∴△PCM≌△QDM;
(2)当四边形ABPQ是平行四边形时,PB=AQ,
∵BCCP=AD+QD,∴8CP=5+CP,∴CP=(85)÷
2=1.5,
∴当PC=1.5时,四边形ABPQ是平行四边形.
题一十:
(1)∵点N只在AD上运动,
∴当点M运动到BC边上的时候,点A、E、M、N才可能组成平行四边形,
即2.5<t<7.5,
设经过t秒,四点可组成平行四边形.分两种情形:
①当M点在E点右侧,
如图:
此时AN=EM,则四边形AEMN是平行四边形,
∵DN=t,CM=2t5,∴AN=10t,EM=104(2t5),
∴10t=104(2t5),解得:
t=1,
∵2.5<t<7.5,∴t=1舍去;
②当M点在B点与E点之间,如图,则MC=2t5,BM=10(2t5)=152t,
∴ME=4(152t)=2t11,2t11=10t,解得t=7,此时符合,
∴当t=7秒时,点A、E、M、N组成平行四边形;
(2)动点M、N在运动的过程中,线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点,此时M在BC上,如图,∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠NAO=∠MCO,
在△ANO和△CMO中,∠NAO=∠MCO,AO=OC,∠AON=∠COM,
∴△ANO≌△CMO(ASA),∴AN=CM,
设N运动的时间是t秒,则10t=2t5,解得:
t=5,即动点M、N在运动的过程中,线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点,此时运动的时间是5秒.
题一十一:
8.
∵AD∥BC,∠A=120°
,∴∠ABC=180°
120°
=60°
∵BD