特殊平行四边形的综合练习Word文档下载推荐.docx

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c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．

4.如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，

等边△ACE、等边△BCF．

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

5.如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？

为什么？

（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

6.如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？

完成以下题目：

（1）①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；

②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；

③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；

④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；

（2）请对

（1）中①②你所写的结论进行证明．

（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

7.如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？

请说明理由．

8.在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．

（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；

（2）请证明你所得到的数学猜想．

9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．

（1）试说明△PCM≌△QDM；

（2）当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？

并说明理由．

10.如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线DCB方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．

（1）若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？

如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；

如果线段MN不过此交点，请说明理由．

11.如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°

，CD=4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．

12.已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3．求：

四边形ABCD的面积．

课后练习参考答案

题一：

C．

详解：

A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；

C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；

D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；

故选C．

题二：

选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；

选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；

选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；

选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；

题三：

见详解．

①连接AC，BD，

∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：

GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．

②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：

四边形MONH是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°

，∴四边形EFGH是矩形．

b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=AC，EH=BD，

∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；

c．由a与b可得：

原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，

四边形EFGH是正方形．

故答案为：

a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．

题四：

（1）∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°

，

∴∠DBA∠FBA=∠FBC∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，

∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．

∴四边形ADFE是平行四边形．

（2）当∠BAC=150°

，∠DAE=360°

60°

150°

=90°

，∴平行四边形DAEF是矩形．

当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．

当∠BAC=60°

，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

题五：

连AC，设AC、BD相交于点O，

（1）∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；

（3）四边形ABCD不是矩形．

题六：

（1）平行四边形；

菱形；

矩形；

正方形；

（2）结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．

①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．

②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．

∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．

∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．

∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．

∴四边形EFGH为菱形．

（3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：

对角线互相垂直．

当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：

对角线相等．

题七：

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=AD，CN=BC，∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°

，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是菱形．

理由如下：

连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，

∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，

易证：

△ABN≌△BAM，∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，

∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=AN，∴MQ=BM，

∵MP=BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．

题八：

（1）四边形ABCD是菱形；

（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，

∴∠MAD=∠DAC=∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=∠CAN，

∠DCA=∠MCD=∠ACM，∠ACB=∠NCB=∠ACN，

∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，

∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，

∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．

题九：

（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，

∵M是CD的中点，∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；

（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，

∵BCCP=AD+QD，∴8CP=5+CP，∴CP=（85）÷

2=1.5，

∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．

题一十：

（1）∵点N只在AD上运动，

∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，

即2.5＜t＜7.5，

设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：

①当M点在E点右侧，

如图：

此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，

∵DN=t，CM=2t5，∴AN=10t，EM=104（2t5），

∴10t=104（2t5），解得：

t=1，

∵2.5＜t＜7.5，∴t=1舍去；

②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t5，BM=10（2t5）=152t，

∴ME=4（152t）=2t11，2t11=10t，解得t=7，此时符合，

∴当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；

（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，

在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，

∴△ANO≌△CMO（ASA），∴AN=CM，

设N运动的时间是t秒，则10t=2t5，解得：

t=5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．

题一十一：

8．

∵AD∥BC，∠A=120°

，∴∠ABC=180°

120°

=60°

∵BD