平面几何五种模型文档格式.docx

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如下：

1等底等高的2个平行四边形面积相等

2三角形面积等于它等底等高的平行四边形面积的一半

32个平行四边形高相等，面积比=底之比；

2个平行四边形底相等，面积比=高之比

2、鸟头模型（共角定理）

鸟头定理：

2个三角形中，有一个角相等或互补，这2个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比（夹角2边）

鸟头定理的使用要火眼金睛，经常需要自己补一条辅助线同时经过2次以上转换对应才能得到结果。

如图，浅紫色的三角形ADE跟大三角形ABC是公用A角的，等于浅紫色三角形是“嵌入”在大三角形ABC里面，注意，鸟头定理用的是乘积比！

不是单独的线段比~

记忆上用夹角2边最好记，这里等于

鸟头定理的证明，写出来是因为很多题目的解题过程，都需要补这么一条辅助线来过度连接2个看起来无关的图形。

证明的途径其实跟我们日常解题途径重合，所以写出来，仔细看。

经由媒介的∆ABE，联系了∆ADE和大三角形∆ABC

BE辅助线很重要！

鸟头定理是用等高（等于是用等积推算而得）

第二种的证明方式将对顶角压回来∆ABC内，对顶角性质是相等的，所以压回来的新∆跟∆ADE是全等∆，再做一条辅助线就能用共角的方式证明出对角的鸟头定理

互补角的鸟头定理证明

写了这几个证明，其实说的目的只有一个：

连接小三角形和大三角形过度的那条辅助线，特别重要！

3蝴蝶模型

任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）任蝴蝶

①或者

②

【上下比】===

【上上比】===

由上述比例可以按数学运算原则推出很多规则：

如

面积交叉相乘的乘积相等==

梯形蝴蝶定理（梯蝴蝶）

①→上：

下=

②→上：

下：

左：

右=

③的对应份数为→a2+2ab+b2=a2+b2+ab+ab有木有↑

4相似三角形

形状相同，大小不同的三角形，只要形状不变，无论大小怎么改变，他们都相似。

1相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且=它们的相似比

2相似三角形的面积比=相似比的平方

3连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线

三角形中位线定理：

三角形的中位线长=它所对应的底边长的一半

就是三角形任2边中点连出来的中位线就是第三边长的一半！

出题几率：

多产生于2条平行线造成的相似三角形

金字塔模型沙漏模型

S∆ADE：

S∆ABC=AF2：

AG2

特别注意！

相似三角形的面积比是等于相似比的平方

5共边定理

燕尾模型、风筝模型、塞瓦定理

共边定理说明

如图一想知道∆PAB和∆QAB的面积比？

我们就如图二做个高，因为同底（就是共用一个边）所以面积比=髙之比，再想办法偷懒，延长PQ、AB的线相交于M，那么刚学的相似三角形可以派上用场，因为∆PDM∆QEM如图三

M

所以=

共边定理：

若直线AB和PQ相交于点M（4种情况）则有

=

图一图二

图三图四

最常应用到的其实是图一，无论在三角形或四边形上我们喜欢用共边2方的不同三角形面积比来比出线段比。

（图形不重叠）

图二的比例图形有重叠，所以线段长度也是重叠比~

图三就是“燕尾定理”图形不重叠，所以线段比不重叠。

图四是四边形，做比的三角形有重叠，而比值是四边形的顶：

延长线段QM（切记，唯一对比线段不在图形内的哈）

共边定理的证明

1，M点是PQ和AB延长后的交点

2，取N，使得MN长度=AB

3、==

∆PNM和∆QNM是等高∆，

塞瓦定理（燕尾定理模型补充）三边比例互乘为1

在△ABC内任取一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于E、F、D，则得出

×

×

=1

特殊题：

参考共边定理2图（重叠）可得

三角形一边上之点到三边线交点O的长度：

同边线全长的比值，3边比值相加=1

++=1