届北师大版 45 压轴题高分策略之导数与不等式结合检测卷Word文档下载推荐.docx

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2、常见恒成立不等式：

（1）对数→多项式

（2）指数→多项式

3、什么情况下会考虑到数形结合？

利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：

（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图像变换作图

（2）所求的参数在图像中具备一定的几何含义

（3）题目中所给的条件大都能翻译成图像上的特征

一、利用导数证明不等式

【典例1】【2016高考新课标Ⅲ文数】设函数．

（I）讨论的单调性；

（）证明当时，；

（）设，证明当时，.

【答案】

（Ⅰ）当时，单调递增；

当时，单调递减；

（Ⅱ）见解析；

（Ⅲ）见解析．

考点：

1、利用导数研究函数的单调性；

2、不等式的证明与解法．

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：

（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；

（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．

【典例2】【2015高考新课标1，文21】设函数.

（）讨论的导函数的零点的个数；

（）证明：

当时.

（）当时，没有零点；

当时，存在唯一零点.（）见解析

【解析】

试题分析：

（）先求出导函数，分与考虑的单调性及性质，即可判断出零点个数；

（）由（）可设在的唯一零点为，根据的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于，即证明了所证不等式.

试题解析：

（）的定义域为，.

常见函数导数及导数运算法则；

函数的零点；

利用导数研究函数图像与性质；

利用导数证明不等式；

运算求解能力.

【思路点拨】导数的综合应用是高考考查的重点和热点，解决此类问题，要熟练掌握常见函数的导数和导数的运算法则、掌握通过利用导数研究函数的单调性、极值研究函数的图像与性质.对函数的零点问题，利用导数研究函数的图像与性质，画出函数图像草图，结合图像处理；

对恒成立或能处理成立问题，常用参变分离或分类讨论来处理.

【典例3】【2016高考天津文数】设函数，，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于.

（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

当变化时，、的变化情况如下表：

单调递增

极大值

单调递减

极小值

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）证明：

因为存在极值点，所以由

（1）知且.

由题意得，即，

进而，

又，且，

当时，，

由

（1）和

（2）知，，

所以在区间上的取值范围为，

所以

.

③当时，，由

（1）和

（2）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此，

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

二、利用导数解决不等式恒成立问题

【典例4】【2016高考新课标2文数】已知函数.

（）当时，求曲线在处的切线方程；

（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.

（Ⅰ）；

（Ⅱ）

综上，的取值范围是

导数的几何意义，函数的单调性.

【典例5】【2016高考四川文科】

设函数，，其中，e=2.718…为自然对数的底数.

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）证明：

当x＞1时，g（x）＞0；

（Ⅲ）确定的所有可能取值，使得在区间（1，+∞）内恒成立.

（1）当时，<

0，单调递减；

当时，>

0，单调递增；

（2）证明详见解析；

（3）.

又因为=0，所以当时，=>

0，即>

恒成立.

综上，.

导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题．

【思路点拨】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，基本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；

要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．本题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比较新颖，学生不易想到．有一定的难度．

【典例6】【2015高考福建，文22】已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

当时，；

（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）详见解析；

（Ⅲ）．

1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：

将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；

f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可.

（2）函数思想法：

将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解.