届苏教版理科数学 不等式选讲 单元测试文档格式.docx

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①利用绝对值不等式的几何意义求解．

②利用零点分段法求解．

③构造函数，利用函数的图象求解．

[小题体验]

1．若不等式|x－4|≤2的解集为，则实数＝________.

解析：

由|x－4|≤2⇔2≤x≤6.

因为不等式的解集为，

所以＝2.

答案：

2

2．函数y＝|x－4|＋|x＋4|的最小值为________．

因为|x－4|＋|x＋4|≥|（x－4）－（x＋4）|＝8，

即函数y的最小值为8.

8

3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．

f（x）＝|x＋1|－|x－2|＝

当－1<

x<

2时，由2x－1≥1，解得1≤x<

2.

又当x≥2时，f（x）＝3>

1恒成立．

所以不等式的解集为.

1．对形如|f（x）|>

a或|f（x）|<

a型的不等式求其解集时，易忽视a的符号直接等价转化造成失误．

2．绝对值不等式||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|中易忽视等号成立的条件．如|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立，其他类似推导．

[小题纠偏]

1．（2018·

苏州暑假测试）不等式x＋|2x＋3|≥2的解集为________．

因为x＋|2x＋3|≥2，所以|2x＋3|≥2－x，

所以2x＋3≥2－x或2x＋3≤－（2－x），

解得x≥－或x≤－5，

所以不等式的解集是xx≥－或x≤－5.

xx≥－或x≤－5

2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．

因为|x－a|＋|x－1|≥|（x－a）－（x－1）|＝|a－1|，

要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，

所以－3≤a－1≤3，所以－2≤a≤4.

[－2,4]

[题组练透]

1．在实数范围内，解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6.

解：

法一：

当x>

时，原不等式转化为4x≤6⇒<

x≤；

当－≤x≤时，原不等式转化为2≤6，恒成立；

当x<

－时，原不等式转化为－4x≤6⇒－≤x<

－.

综上知，原不等式的解集为.

法二：

原不等式可化为＋≤3，

其几何意义为数轴上到，－两点的距离之和不超过3的点的集合，数形结合知，当x＝或x＝－时，到，－两点的距离之和恰好为3，故当－≤x≤时，满足题意，则原不等式的解集为.

2．（2018·

南京高三年级学情调研）解不等式：

|x－2|＋|x＋1|≥5.

当x＜－1时，不等式可化为－x＋2－x－1≥5，解得x≤－2；

当－1≤x≤2时，不等式可化为－x＋2＋x＋1≥5，此时不等式无解；

当x＞2时，不等式可化为x－2＋x＋1≥5，解得x≥3，

所以原不等式的解集为（－∞，－2]∪[3，＋∞）．

3．（2018·

南京学情调研）解不等式|x－1|＋2|x|≤4x.

原不等式等价于

或或

解得x∈∅；

解得≤x≤1；

解得x＞1.

所以原不等式的解集为.

[谨记通法]

解绝对值不等式的基本方法

（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；

（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．

[典例引领]

苏州测试）已知a≥2，x∈R，求证：

|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

证明：

因为|x－1＋a|＋|x－a|≥|x－1＋a－（x－a）|＝|2a－1|，

又a≥2，故|2a－1|≥3.

所以|x－1＋a|＋|x－a|≥3.

2．若对于实数x，y有|1－x|≤2，|y＋1|≤1，求|2x＋3y＋1|的最大值．

因为|2x＋3y＋1|＝|2（x－1）＋3（y＋1）|

≤2|x－1|＋3|y＋1|≤7，

所以|2x＋3y＋1|的最大值为7.

[由题悟法]

（1）绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±

b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要特别注意，特别是用此定理求最值及进行不等式放缩时．

（2）定理可推广：

||a|－|b||≤|a±

b|≤|a|＋|b|.

[即时应用]

已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，

求证：

|x＋5y|≤1.

因为|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|.

所以由绝对值不等式的性质，得

|x＋5y|＝|3（x＋y）－2（x－y）|≤|3（x＋y）|＋|2（x－y）|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×

＋2×

＝1.即|x＋5y|≤1.

（2018·

苏州期末）设函数f（x）＝＋|x－a|（a>

0）．

（1）证明：

f（x）≥2；

（2）若f（3）<

5，求实数a的取值范围．

因为a>

0，

所以f（x）＝＋|x－a|≥＝＋a≥2.当且仅当a＝1时等号成立．

（2）因为f（3）<

5，所以3＋＋|3－a|<

5，

即＋|a－3|<

所以或

即或

解得<

3或3≤a<

.

所以正实数a的取值范围是.

（1）研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．

（2）f（x）＜a恒成立⇔f（x）max＜a.

f（x）>

a恒成立⇔f（x）min＞a.

宿迁调研）设函数f（x）＝|x＋2|＋|x－a|（a∈R）．

（1）若不等式f（x）＋a≥0恒成立，求实数a的取值范围；

（2）若不等式f（x）≥x恒成立，求实数a的取值范围．

（1）当a≥0时，f（x）＋a≥0恒成立，

当a＜0时，要保证f（x）≥－a恒成立，

即f（x）的最小值|a＋2|≥－a，

解得－1≤a＜0，故a≥－1.

所以实数a的取值范围为[－1，＋∞）．

（2）由题意可知，函数y＝f（x）的图象恒在直线y＝x的上方，画出两个函数图象可知，当a≤－2时，符合题意，当a＞－2时，只需满足点（a，a＋2）不在点的下方即可，所以a＋2≥a，即－2＜a≤4.

综上，实数a的取值范围是（－∞，4]．

1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．

（1）求m＋n的值；

（2）若|x－a|＜m，求证：

|x|＜|a|＋1.

（1）不等式|2x－3|≤1可化为－1≤2x－3≤1，

解得1≤x≤2，所以m＝1，n＝2，m＋n＝3.

（2）证明：

若|x－a|＜1，则|x|＝|x－a＋a|≤|x－a|＋|a|＜|a|＋1.即|x|＜|a|＋1.

苏北四市一模）设c＞0，|x－1|＜，|y－1|＜，求证：

|2x＋y－3|＜c.

因为|x－1|＜，|y－1|<

，

所以|2x＋y－3|＝|2x－2＋y－1|≤|2x－2|＋|y－1|＜＋＝c，

故|2x＋y－3|＜c.

3．若关于x的不等式|x＋1|－|x－2|<

a2－4a有实数解，求实数a的取值范围．

因为||x＋1|－|x－2||≤|（x＋1）－（x－2）|＝3，

所以－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.

由不等式a2－4a>

|x＋1|－|x－2|有实数解，

知a2－4a>

－3，解得a>

3或a<

1，

所以实数a的取值范围为（－∞，1）∪（3，＋∞）．

4．已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）若f（x）≤m的解集为，求实数a，m的值；

（2）当a＝2且0≤t＜2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）．

（1）因为|x－a|≤m，所以－m＋a≤x≤m＋a.

因为－m＋a＝－1，m＋a＝5，

所以a＝2，m＝3.

（2）f（x）＋t≥f（x＋2）可化为|x－2|＋t≥|x|.

①当x∈（－∞，0）时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，

因为0≤t＜2，所以x∈（－∞，0）；

②当x∈[0,2）时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，

因为1≤1＋＜2，所以0≤x≤1＋；

③当x∈[2，＋∞）时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t＜2时，无解．

综上，当0≤t＜2时，所求不等式的解集为.

5．设函数f（x）＝|x－1|＋|x－2|.

（1）求证：

f（x）≥1；

（2）若f（x）＝成立，求x的取值范围．

f（x）＝|x－1|＋|x－2|≥|（x－1）－（x－2）|＝1.

（2）因为＝＝＋≥2，

当且仅当a＝0时等号成立，

所以要使f（x）＝成立，只需|x－1|＋|x－2|≥2，

即或或

解得x≤或x≥，

故x的取值范围是∪.

6．（2017·

全国卷Ⅲ）已知函数f（x）＝|x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）≥1的解集；

（2）若不等式f（x）≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围．

（1）f（x）＝

当x＜－1时，f（x）≥1无解；

当－1≤x≤2时，由f（x）≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；

当x＞2时，由f（x）≥1，解得x＞2.

所以f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．

（2）由f（x）≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.

而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，

当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.

故m的取值范围为.

7．设函数f（x）＝|2x－1|－|x＋2|.

（1）解不等式f（x）＞0；

（2）若∃x0∈R，使得f（x0）＋2m2＜4m，求实数m的取值范围．

（1）不等式f（x）＞0，即|2x－1|＞|x＋2|，

即4x2－4x＋1＞x2＋4x＋4，

3x2－8x－3＞0，解得x＜－或x＞3，

所以不等式f（x）＞0的解集为.

（2）f（x）＝|2x－1|－|x＋2|＝

故f（x）的最小值为f＝－.

因为∃x0∈R，使得f（x0）＋2m2＜4m，

所以4m－2m2＞－，

解得－＜m＜.

故实数m的取值范围为.

8．已知函数f（x）＝|3x＋2|.

（1）解不等式f（x）<

4－|x－1|；

（2）已知m＋n＝1（m，n>

0），若|x－a|－f（x）≤＋（a>

0）恒成立，求实数a的取值范围．

（1）不等式f（x）<

4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<

4.

－时，即－3x－2－x＋1<

4，

解得－<

－；

当－≤x≤1时，即3x＋2－x＋1<

解得－≤x<

；

1时，即3x＋2＋x－1<

4，无解．

综上所述，x∈.

（2）由题意，＋＝（m＋n）＝1＋1＋＋≥4，

当且仅当m＝n＝时等号成立．

令g（x）＝|x－a|－f（x）＝|x－a|－|3x＋2|＝

所以x＝－时，g（x）max＝＋a，要使不等式恒成立，

只需g（x）max＝＋a≤4，即0<

a≤.

所以实数a的取值范围是.

第二节不等式的证明

1．基本不等式

（1）定理：

如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立