第一章随机事件与概率Word格式文档下载.docx
《第一章随机事件与概率Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章随机事件与概率Word格式文档下载.docx（26页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
A（BC）
解：
（1）
（2）
AB=AB=AB={2,3,4,5}
A（BC）=A（BC）=A{4,5}
={0,1,5,6,7,8,9}{4,5}
={0,1,4,5,6,7,8,9}
11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上，问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。
P=2=1
4!
12
15.在整数0-9中，任取4个，能排成一个四位偶数的概率。
43112
n=A10=5040，k=A9+C4C8A8
=2296
∴p=k=2296=0.46
n5040
14.设n个人排成一行，甲与乙是其中的两个人，求这n个人的任意排列中，甲与乙之间恰有r个人的概率。
如果n个人围成一圈，试证明甲与乙之间恰有r
1
个人的概率与r无关，都是n-1（在圆排列中，仅考虑从甲到乙的顺时针方向）。
解：
（1）基本事件数为n!
，设甲排在第i位，则乙排在第i+r+1位，i=1,2,,n-r-1，共n-r-1中取法，其余n-2个位置是n-2个人的全排列，有（n-2）!
种，甲乙位
11
置可调换，有C2种，故有利事件数由乘法原理有C（2
型的计算公式，得
n-r-1）（n-2）!
，由古典概
C（1
P=2
2（n-r-1）
=
n!
n（n-1）
P=C2（n-1）!
=2
甲乙相邻的概率为：
n
另解１：
先固定甲，有n种，再放置乙，有n-1,基本事件数有n（n-1）,有利事件数为2（n-r-1）.故有
P=2（n-r-1）
n（n-1）
另解2:
先在甲乙之间选出r个人，然后将甲乙与这r个人看成一个整体与剩下的
n-r-2个人作全排列.
r2n-r-1
P=An-2A2An-r-1
=2（n-r-1）
（2）环排列：
甲乙按顺时针方向排列，中间相隔r个人的基本事件数是n个位置取
2
2个人的排列，共有An种，而甲的位置选取有n种选法，故由古典概型的计算有
A
P=n
n
=1
n-1
甲乙相邻的情形：
设甲乙合一个位置，甲乙可互换，则甲乙相邻有2（n-2）!
种排
P=2（n-2）!
=2
列，故
（n-1）!
n-1.
另解：
一圈有n个位置，甲占一个后，乙还有n-1个，与甲相邻的共2个,故
P=2
n-1（只考虑乙）
16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
5
解:
基本事件数为n=C10=252,有利事件数为
23
1）2个伍分,其他任意,有C2C8=56
122
2）1个伍分,2个贰分:
C2C3C5
=60
3）1个伍分,3个贰分:
C1C3C1=10
235
P=k=56+60+10=1
故n2522
17:
箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1（k+1≤α+β）球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率.
令A={第k+1次（最后）取出的是白球},则
C1Ak
α（α+β-1）!
P（A）=αα+β-1=（α+β-k-1）!
=α
k+1
α+β
（α+β）!
（α+β-k-1）!
另解:
只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事
件数为α+β,有利于A的基本事件数为α,故
P（A）=
α
α+β
18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层，求下列事件的概率：
（1）某一层有两位乘客离开。
（2）没有两位及两位以上乘客在同一层离开。
（3）恰有两位乘客在同一层离开。
（4）至少有两位乘客在同一层离开。
（1）某有2位乘客离开，6个乘客选2名有C6种选法，其余4人在其余9层下有94
种，故共有：
C294
p=6
106
（2）没有2人或2人以上的乘客在同一层离开，即只有一个人在某层离开，从而
A6
P=10
（3）恰好有2位乘客在同一层离开
基本事件数为
n=106
.考虑有利事件数，“有2位乘客在同一层”种数为
12
CC
106，
其余4人有以下几种情况
4
a）其余9层，4个人单独在某层下，有A9种。
b）4人一起在其余9层中的某层下，有C9种。
131
c）9层中的某层下3人，其余8层下1人，共有C9C4C8
C1C2[A4+C1+C1C3C1]
6
P=10699948
所以10
（4）为
（2）的逆事件，从而
P=1-
10
19．一列火车共有n节车厢，有k≥n个旅客上火车并随意地选择车厢，求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。
设A={每一节车厢至少有一个旅客}，则A={存在空车厢}
n-1
A=Ai
Ai={存在i节空车厢}，i=1,2,,n，则
（1－i）k
I=1
以下计算P（Ai）
指定的i节车厢空的概率为
n,（因为每个人进入其他n-i节车厢的概率为
n-i=1-i
nn）,所以
P（A）=Ci（1-i）k（i=1,2,,n-1）
inn
利用多除少补原理，有
P（A）=C1（1-1）k-C2（1-2）k++Cn-1（-1）n（1-n-1）k,P（A）=1-P（A）
nnnnnn
Aknk-n
P=
注：
错解：
nk（有重复情形）
20.某人从鱼池中捕得1200条鱼，做了记号后放回该鱼池中，经过一段时间后，
再从池中捕1000条鱼，数得有记号的有100条。
试估计鱼池中共有多少条鱼？
设鱼池中共有n条鱼，则，由古典概率的定义有：
p=k=1200=
nn
100
1000
⇒n=12000
21．将线段（0,a）任意折成三段，试求此三段能够成三角形的概率解：
设0<
x<
y<
a,如图
能够三角形，必须有y>
a-y,即
y>
1
2.如图
Y
a
1（a）21
P=22=
0ax
22．甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内
达到的时刻是等可能的，如果甲般的停泊时间是1小时，乙船停泊的时间是2
小时，求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。
设x,y分别表示甲乙船到达码头的时刻，0<
y≤24不需等待码头空出，若甲先到，则y-x>
1，若乙先到，则x-y>
2，如图
1（232+222）
242
=0.87934
2444
22444
23.在一个半径为1的圆周上，男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点，
将两点连成一条弦L,求圆心到弦L的距离不大于2这一事件A的概率。
由运动的相对性，不妨将甲固定，则基本事件为“（乙可取的点）整个圆周”，
11
有利于A的事件对应为：
（乙可取点）甲的左边3圆周和甲的右边3圆周,故
32π
22
p==
2π3.
2a,2b,2c
24.解：
三角形a,b,c任一边与平行线相交的概率分别为πdπd
与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。
故
p=1（2a+2b+2c）=a+b+c
πd,而“三角形
2πdπdπdπd
28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球，每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球，这样继续下去，求第k次取到黑球的概率。
记A={第k次摸到黑球}，则A={第k次摸到白球}，因为袋中只有一只白球，故了在第k次摸到白球，则前面的k-1次不能摸到白球，只能摸到黑球，故
NP（A）＝
k-1
Nk
⋅1=（1-1）k-1⋅1
NN，
P（A）=1-（1-1）k-1⋅1
NN.
34．袋中有编号为1,2,…,n的n个球，从中有放回地随机选取m个，求取出的m
个球的最大号码为k有概率。
并计算n=6,m=3,时，k=1和k=3的值。
基本事件的可能数为nm
记Ak
＝｛取到这最大号码为k｝,
Bk={取到的最大号
km
码不超过k这一事件}，则有Ak=Bk-Bk-1,又Bk-1⊂Bk,
p（Bk）=
nm,故有
P（Ak）=P（Bk）-P（Bk-1
）=k
m-（k-1）m
nm
k=1,2,,n
p（1
升级会员 