第一章随机事件与概率Word格式文档下载.docx
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A(BC)
解:
(1)
(2)
AB=AB=AB={2,3,4,5}
A(BC)=A(BC)=A{4,5}
={0,1,5,6,7,8,9}{4,5}
={0,1,4,5,6,7,8,9}
11.小何买了高等数学、高等代数、解析几何、和大学英语四本书放到书架上,问各册自左向右或自右向左排列恰好是上述次序概率。
P=2=1
4!
12
15.在整数0-9中,任取4个,能排成一个四位偶数的概率。
43112
n=A10=5040,k=A9+C4C8A8
=2296
∴p=k=2296=0.46
n5040
14.设n个人排成一行,甲与乙是其中的两个人,求这n个人的任意排列中,甲与乙之间恰有r个人的概率。
如果n个人围成一圈,试证明甲与乙之间恰有r
1
个人的概率与r无关,都是n-1(在圆排列中,仅考虑从甲到乙的顺时针方向)。
解:
(1)基本事件数为n!
,设甲排在第i位,则乙排在第i+r+1位,i=1,2,,n-r-1,共n-r-1中取法,其余n-2个位置是n-2个人的全排列,有(n-2)!
种,甲乙位
11
置可调换,有C2种,故有利事件数由乘法原理有C(2
型的计算公式,得
n-r-1)(n-2)!
,由古典概
C(1
P=2
2(n-r-1)
=
n!
n(n-1)
P=C2(n-1)!
=2
甲乙相邻的概率为:
n
另解1:
先固定甲,有n种,再放置乙,有n-1,基本事件数有n(n-1),有利事件数为2(n-r-1).故有
P=2(n-r-1)
n(n-1)
另解2:
先在甲乙之间选出r个人,然后将甲乙与这r个人看成一个整体与剩下的
n-r-2个人作全排列.
r2n-r-1
P=An-2A2An-r-1
=2(n-r-1)
(2)环排列:
甲乙按顺时针方向排列,中间相隔r个人的基本事件数是n个位置取
2
2个人的排列,共有An种,而甲的位置选取有n种选法,故由古典概型的计算有
A
P=n
n
=1
n-1
甲乙相邻的情形:
设甲乙合一个位置,甲乙可互换,则甲乙相邻有2(n-2)!
种排
P=2(n-2)!
=2
列,故
(n-1)!
n-1.
另解:
一圈有n个位置,甲占一个后,乙还有n-1个,与甲相邻的共2个,故
P=2
n-1(只考虑乙)
16.口袋内有2个伍分,3个贰分,5个壹分的硬币,任取其中5个,求总值超过一角的概率.
5
解:
基本事件数为n=C10=252,有利事件数为
23
1)2个伍分,其他任意,有C2C8=56
122
2)1个伍分,2个贰分:
C2C3C5
=60
3)1个伍分,3个贰分:
C1C3C1=10
235
P=k=56+60+10=1
故n2522
17:
箱中有α个白球和β个黑球,从其中任意地接连取出k+1(k+1≤α+β)球,如果每次取出后不放回,试求最后取出的是白球的概率.
令A={第k+1次(最后)取出的是白球},则
C1Ak
α(α+β-1)!
P(A)=αα+β-1=(α+β-k-1)!
=α
k+1
α+β
(α+β)!
(α+β-k-1)!
另解:
只考虑第k+1次取球的情况,显然每个球都可能排列在第k+1个位置,基本事
件数为α+β,有利于A的基本事件数为α,故
P(A)=
α
α+β
18.一架电梯开始有6位乘客并等可能地停于10层楼的每一层,求下列事件的概率:
(1)某一层有两位乘客离开。
(2)没有两位及两位以上乘客在同一层离开。
(3)恰有两位乘客在同一层离开。
(4)至少有两位乘客在同一层离开。
(1)某有2位乘客离开,6个乘客选2名有C6种选法,其余4人在其余9层下有94
种,故共有:
C294
p=6
106
(2)没有2人或2人以上的乘客在同一层离开,即只有一个人在某层离开,从而
A6
P=10
(3)恰好有2位乘客在同一层离开
基本事件数为
n=106
.考虑有利事件数,“有2位乘客在同一层”种数为
12
CC
106,
其余4人有以下几种情况
4
a)其余9层,4个人单独在某层下,有A9种。
b)4人一起在其余9层中的某层下,有C9种。
131
c)9层中的某层下3人,其余8层下1人,共有C9C4C8
C1C2[A4+C1+C1C3C1]
6
P=10699948
所以10
(4)为
(2)的逆事件,从而
P=1-
10
19.一列火车共有n节车厢,有k≥n个旅客上火车并随意地选择车厢,求每一节车厢内至少有一个旅客的概率。
设A={每一节车厢至少有一个旅客},则A={存在空车厢}
n-1
A=Ai
Ai={存在i节空车厢},i=1,2,,n,则
(1-i)k
I=1
以下计算P(Ai)
指定的i节车厢空的概率为
n,(因为每个人进入其他n-i节车厢的概率为
n-i=1-i
nn),所以
P(A)=Ci(1-i)k(i=1,2,,n-1)
inn
利用多除少补原理,有
P(A)=C1(1-1)k-C2(1-2)k++Cn-1(-1)n(1-n-1)k,P(A)=1-P(A)
nnnnnn
Aknk-n
P=
注:
错解:
nk(有重复情形)
20.某人从鱼池中捕得1200条鱼,做了记号后放回该鱼池中,经过一段时间后,
再从池中捕1000条鱼,数得有记号的有100条。
试估计鱼池中共有多少条鱼?
设鱼池中共有n条鱼,则,由古典概率的定义有:
p=k=1200=
nn
100
1000
⇒n=12000
21.将线段(0,a)任意折成三段,试求此三段能够成三角形的概率解:
设0<
x<
y<
a,如图
能够三角形,必须有y>
a-y,即
y>
1
2.如图
Y
a
1(a)21
P=22=
0ax
22.甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊,它们在一昼夜内
达到的时刻是等可能的,如果甲般的停泊时间是1小时,乙船停泊的时间是2
小时,求它们中的任何一艘都不需等待码头空出的概率。
设x,y分别表示甲乙船到达码头的时刻,0<
y≤24不需等待码头空出,若甲先到,则y-x>
1,若乙先到,则x-y>
2,如图
1(232+222)
242
=0.87934
2444
22444
23.在一个半径为1的圆周上,男乙两人各自独立地从圆周上随机地各取一点,
将两点连成一条弦L,求圆心到弦L的距离不大于2这一事件A的概率。
由运动的相对性,不妨将甲固定,则基本事件为“(乙可取的点)整个圆周”,
11
有利于A的事件对应为:
(乙可取点)甲的左边3圆周和甲的右边3圆周,故
32π
22
p==
2π3.
2a,2b,2c
24.解:
三角形a,b,c任一边与平行线相交的概率分别为πdπd
与平行线相交”等价于“任意两个边与平行线相交”。
故
p=1(2a+2b+2c)=a+b+c
πd,而“三角形
2πdπdπdπd
28.一个袋内有n-1个黑球和一个白球,每次从袋中随机取出一球并换入一个黑球,这样继续下去,求第k次取到黑球的概率。
记A={第k次摸到黑球},则A={第k次摸到白球},因为袋中只有一只白球,故了在第k次摸到白球,则前面的k-1次不能摸到白球,只能摸到黑球,故
NP(A)=
k-1
Nk
⋅1=(1-1)k-1⋅1
NN,
P(A)=1-(1-1)k-1⋅1
NN.
34.袋中有编号为1,2,…,n的n个球,从中有放回地随机选取m个,求取出的m
个球的最大号码为k有概率。
并计算n=6,m=3,时,k=1和k=3的值。
基本事件的可能数为nm
记Ak
={取到这最大号码为k},
Bk={取到的最大号
km
码不超过k这一事件},则有Ak=Bk-Bk-1,又Bk-1⊂Bk,
p(Bk)=
nm,故有
P(Ak)=P(Bk)-P(Bk-1
)=k
m-(k-1)m
nm
k=1,2,,n
p(1