正多边行和圆.docx

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正多边行和圆

24.3正多边形和圆

【教学目标】

知识与技能

1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念.

2．理解并掌握正多边形的中心、半径、边长、边心距、中心角之间的关系，并会进行正多边形的有关计算.

3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形.

过程与方法

1.在探索正多边形与圆的关系及正多边形的有关计算的过程中，体会化归思想在解决问题中的重要性.

2.经历动手、探索、画图，体会用工具画图的优势及培养学生的动手能力.

3.通过解决实际问题培养学生会从实际问题中抽象出数学模型的抽象能力及用数学意识.

情感、态度与价值观

1.经历观察、发现、探究等数学活动，感受生活中的数学美，体会事物之间是相互联系、相互作用的.

2.通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学活动中获得成功的体验，建立自信心.

3.通过运用正多边形的有关计算和画图解决实际问题培养学生分析问题、解决问题的能力.

【重点难点】

重点：

理解正多边形与圆的有关概念及有关计算，会画正多边形.

难点

探索正多边形和圆以及有关概念之间的关系的过程、尺规作图画正多边形.

【教学准备】

教师准备：

多媒体课件1—4

学生准备：

预习课本P105-107

【教学过程】

教学导入

导入一：

（课件1展示）

日常生活中我们经常看到正多边形形状的物体，也可以得到许多美丽的正多边形图案.

你还能举一些这样的例子吗？

（导出新课）

导入二：

复习提问：

1.什么是正多边形？

2.正多边形具有轴对称、中心对称的性质吗？

3.什么叫圆内接正多边形？

【设计意图】通过观察事物和图片，知道实际生活中会遇到正多边形问题，体会正多边形在生产生活中广泛应用，从而提高学习兴趣，引出课题.通过复习正多边形的概念及性质，为本节课的学习打下铺垫.

二、新知构建

[过渡语]你知道正多边形和圆有什么关系吗？

通过今天的学习，我们将了解正多边形和圆的关系.

共同探究1

把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形吗？

思路一：

思考：

1.正三角形、正方形有内切圆和外接圆吗？

有什么关系？

教师引导：

内心是三个角的平分线交点、外心是三条边的垂直平分线交点，正三角形和正方形的角平分线交点和边的垂直平分线的交点相同，所以内切圆和外接圆是同心圆.

2.正三角形顶点把圆等分成三部分，如何画圆的内接正三角形？

正方形顶点把圆等分成四部分，如何画圆的内接正方形？

师生活动：

学生小组合作交流，展示成果，教师归纳把圆三等分，顺次连接各分点可得圆内接正三角形，把圆四等分，顺次连接各分点可得圆内接正方形.

3.如果把一个圆五等分，顺次连接各分点能否得到正五边形？

若能，写出证明过程.

师生活动：

学生独立思考完成，然后小组交流成果，并板书证明过程，教师巡视时帮助有困难的学生，对学生的展示进行点评.

（板书）已知：

如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.

求证：

五边形ABCDE是圆内接正五边形.

证明：

∵====，∴AB=BC=CD=DE=EA，=3=，

∴∠A=∠B.同理∠B=∠C=∠D=∠E.又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，

∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.

4.类比以上探究过程，你能得出什么结论？

把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.

思路二：

将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形是圆内接正五边形.请你证明这个结论.

教师引导：

命题中的题设是；结论是.

画出图形写出已知条件和求证.

已知：

如图所示，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.

求证：

五边形ABCDE是圆内接正五边形.

教师引导分析：

要证明五边形ABCDE是正五边形，根据正多边形定义可得需证和.在圆中由弧相等可得相等；要证明圆周角相等，可以证明所对的相等，由已知的等弧可得.

师生活动：

学生独立完成证明过程后，小组互相交流答案，学生板书，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，对学生的展示进行点评.

（板书）同思路一.

思考：

1.如果把五分分点改成六等分点、七等分点...n等分点.，上述结论仍然成立吗？

2.归纳正多边形和圆的关系.

（把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆.）

学生活动：

学生小组合作交流，共同归纳结论.

【设计思路】经历由特殊到一般的探究过程，得到正多边形和圆的关系，体会类比思想在数学中的应用，提高学生分析问题的能力和逻辑思维能力.

共同探究2：

活动1：

自主学习教材105页正多边形的有关概念.

师生活动：

学生自学课本教材概念，小组内交流对概念的理解，教师展示课件，对学生的质疑给予帮助.

（课件2展示）

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．（如图）

活动2：

1.在纸上画出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的草图，和同桌交流它们的中心、中心角、半径、边心距分别是什么？

2.分别求出所画正多边形的中心角和外角，完成下表：

（课件3展示）

正三角形

正方形

正五边形

正六边形

...

正n边形

中心角

...

外角

...

3.通过上边的探究，你能得到哪些结论？

师生活动：

学生之间交流，归纳结论，教师点评、强化归纳的重要结论.

结论：

（1）正边形的中心角等于，外角等于，正多边形的中心角与外角相等.

（2）正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形.

（3）正边形的半径和边心距，把正边形分为个直角三角形.

【设计意图】通过自学概念，培养学生自主学习的能力，体会数学中由特殊到一般的数学思想方法，培养学生合作交流的能力及归纳总结能力.

共同探究3

例题讲解：

（课件4展示）

如图有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.

教师引导分析：

欲求周长和面积，可先求什么？

怎样作辅助线?

师生活动：

学生思考计算，然后小组内交流结果，教师在巡视过程中帮助有困难的学生，学生展示后进行点评.

解：

如图，连接OB，OC.因为正六边形ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.

因此，亭子地基的周长=6×4=24（m）.

作OP⊥BC，垂足为P.在Rt△OPC中，OC=4m，PC==2（m）,利用勾股定理，可得边心距r=（m）.

亭子地基的面积S==×24×≈41.6（m2）.

拓展：

已知正n边形的半径为R,用R填表：

边长

周长

边心距

面积

正三角形

正方形

正六边形

师生活动：

学生独立完成后小组内交流答案，学生展示结果后教师点评，并强调方法、注意事项.

【设计意图】该题是正多边形的有关计算，是本节课的重点，是数学知识在实际生活中的应用，让学生体会建模思想在实际问题中的重要作用，感受数学来源于生活，又应用到生活中去.拓展目的是让学生巩固本节课的知识，熟练掌握常用特殊多边形的有关计算，提高应用能力.

共同探究4

阅读课本107页.

思考：

如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？

师生活动：

小组合作交流，师生共同归纳画图方法.

方法1：

用量角器等分圆周.

对于任意正边形，用量角器作一个等于的圆心角，然后在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n等分点，从而画出正多边形.

方法2：

用尺规等分圆周.

对于特殊正多边形，正六边形和正方形等用尺规作法.

（在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形）

做一做：

在图中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形．

【设计意图】通过自学归纳画圆内接正多边形的方法，培养学生自主学习的能力和归纳总结及动手操作能力.

【知识拓展】

求圆内接正多边形的半径或边心距或边长，就是从正多边形的中心向一边做垂线，连接半径构造直角三角形，综合运用垂径定理和勾股定理解决问题.

3、课堂小结

1.正多边形和圆的关系：

任意正多边形都有它的外接圆.

2.和正多边形有关的概念：

中心、半径、中心角、弦心距.

3.用等弧法作正多边形.

4、检测反馈

1.如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

解析：

如图，连接OB，∵多边形ABCDEF是正多边形，∴∠AOB==60°，∴∠ADB=∠AOB=×60°=30°．故选B．

2.正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（　　）

A．B．2C．3D．2

解析：

如图，∵正六边形的边心距为，∴OB=，AB=OA，∵OA2=AB2+OB2，

∴OA2=（OA）2+（）2，解得OA=2．故选B．

3.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD=　　．

解析：

设O是正五边形的中心，连接OD、OB．则∠DOB=×360°=144°，∴∠BAD=∠DOB=72°，故填72°．

4.等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

解析：

根据等边三角形的性质求得其等边三角形的边心距，即是正方形的半径，再根据正方形的性质求得正方形的边长，进一步求出其面积．

解：

等边△ABC的边长为a，∵点O为△ABC的内心，∴OE⊥AB，AE=BE=，∠EAO=30°，

∴OA=2OE，设OE=x，则OA=2x，由勾股定理可得（2x）2=x2+（）2,解得x=a,∴

OE=a，∴正方形的边长是=OE=a．则正方形的面积是：

a2．

五、板书设计

24.3正多边形和圆

共同探究1

正多边形和圆的关系

共同探究2

和正多边形有关的概念

共同探究3

例题讲解

共同探究4

作正多边形

六、布置作业

（一）教材作业

必做题

教材第108页习题24.3的1、2、3、4题.

选做题

教材第108页习题24.3的5、6、7、8题.

（二）课后作业

【基础巩固】

1.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（　　）

A．60°B．45°C．30°D．22.5°

2.若一个正多边的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边行的边数（）

A.4B.6C.8D.10

3.一正多边形外角为90°，则它的边心距与半径之比为（　　）

A．1∶2B．1∶C．1∶D．1∶3

4.半径为R的圆内接正三角形的面积是（）

A．B．C．D．

5.已知正三角形的边长为，其内切圆半径为，外接圆半径为R，则：

：

R等于（）

A.1∶∶2B.1∶∶2C.1∶2∶D.1∶∶

6.已知正六边形的半径为4cm，则这个正六边形的边心距为__________cm.

7.正十二边形的每个中心角等于________，内角等于________，外角等于________.

8.如图，菱形花坛ABCD的边长为6m，∠B＝60°，其中由两个正六边形组成的部分种花，则种花部分的图形周长为____________.

9.如图所示，已知⊙O的周长等于6cm，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF的面积．

【能力提升】

10.如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°则⊙O的内接正方形