常微分方程练习题及答案复习题Word格式文档下载.docx

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9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.?

?

10.是满足方程和初始条件?

?

的唯一解.?

11.方程的待定特解可取?

的形式:

12.三阶常系数齐线性方程的特征根是

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.

2．求解方程.

3.求解方程。

4．用比较系数法解方程..?

5．求方程的通解.

6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.

7．设，，试求方程组的一个基解基解矩阵，求满足初始条件的解.

8.求方程通过点的第二次近似解.

9.求的通解

10.若试求方程组的解并求expAt

三、证明题

1.若是的基解矩阵，求证：

存在一个非奇异的常数矩阵，使得.

2.设是积分方程

的皮卡逐步逼近函数序列在上一致收敛所得的解，而是这积分方程在上的连续解，试用逐步逼近法证明：

在上.

3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:

（i）?

和都只能有简单零点（即函数值与导函数值不能在一点同时为零）;

（ii）?

和没有共同的零点;

（iii）?

和没有共同的零点.

4.试证：

如果是满足初始条件的解，那么

.

答案

一.填空题。

1.二，非线性2.，3.无穷多4.

5.必要6.7.8.9.

10.11.

12.1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程,该曲线上任一点处的切线与切点和点（1,0）的连线相互垂直.

解:

设曲线方程为,切点为（x,y）,切点到点（1,0）的连线的斜率为,则由题意

可得如下初值问题:

.?

分离变量,积分并整理后可得.?

代入初始条件可得,因此得所求曲线为?

2.求解方程.

解：

由求得令

则有令，解得,积分得,

故原方程的解为.

3.求解方程

解?

令，直接计算可得，于是原方程化为?

，故有或，积分后得，即，所以?

　就是原方程的通解，这里为任意常数。

4.用比较系数法解方程..?

特征方程为,特征根为.?

对应齐方程的通解为.?

设原方程的特解有形如?

代如原方程可得

利用对应系数相等可得,故.?

原方程的通解可以表示为（是任意常数）

.

5.求方程的通解.

先解得通解为,令为原方程的解，

代入得,即有,

积分得,所以为原方程的通解.

6．验证微分方程是恰当方程，并求出它的通解.

由于，因为所以原方程为恰当方程.

把原方程分项组合得,

或写成,故原方程的通解为.

特征方程为

求得特征值,对应的特征向量分别为

可得一个基解矩阵，又因为，

于是，所求的解为

令，于是

方程可化为，令则有（*），

（*）两边对y求导得，

即，由得，即.

将y代入（*）得，

即方程的含参数形式的通解为：

，p为参数；

又由得代入（*）得也是方程的解.

特征方程，解得，此时k=1,。

，

由公式expAt=得

证：

是基解矩阵，故存在，令，

则可微且，易知.

所以而，所以,

（常数矩阵），故.

证明：

由题设，有

，.

下面只就区间上讨论，对于的讨论完全一样。

因为其中，

所以

其中,设对正整数有,则有

故由归纳法，对一切正整数，有

而上不等式的右边是收敛的正项级数的通项，故当时，它,

因而函数序列在上一致收敛于.根据极限的唯一性,即得

.

3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:

证明:

和的伏朗斯基行列式为

因和是基本解组,故.?

若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即

最多只能有简单零点.同理对有同样的性质,故（i）得证.?

若存在,使得,则由行列式性质可得,矛盾.即?

与无共同零点.故（ii）得证.?

若存在,使得,则同样由行列式性质可得,矛盾.

即与无共同零点.故（iii）得证.?

.证明：

因为是的基本解矩阵，是其解，所以存在常向量使得：

令，则：

，所以，

故