中考一轮复习数学几何小专题三角形综合之解答题专项有答案Word格式文档下载.docx
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（2）当α＝150°
时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：
当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
4．已知，在△ABC中，∠BAC＝90°
，∠BCA＝30°
，AB＝5，D为直线BC上一动点，以AD为边作等边△ADE（A，D，E三点逆时针排列），连接CE．
（1）如图1，若D为BC中点，求证：
AE＝CE；
（2）如图2，试探究AE与CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）连接BE，在D点运动的过程中，当BE最小时，则线段CD的长为 ．
5．已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合）．
（1）如图1．当PB＝3AP时，△BPC的面积为 ；
（2）直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′．
①如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，求BB′的长度；
②如图3，当PB＝6时，在直线l变化过程中．请直接写出△ACB′面积的最大值．
6．如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°
＜α＜60°
），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．
（1）依题意补全图形；
（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；
（3）直接写出∠AEB的度数；
（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
，AC＝BC＝5cm，点P从点A出发，以cm/s的速度沿AB向终点B运动过．点P作PQ⊥AC于Q，当点P不与点A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN＝2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠部分面积为S，点P的运动时间为t（s）．
（1）用含t的代数式表示线段BP的长度．
（2）当点N落在BC边上时，求t的值．
（3）用含t的代数式表示S．
（4）当点C与长方形PQMN的顶点所连的直线平分△ABC的面积时，直接写出t的值．
8．如图1，已知Rt△ABC中，∠BAC＝90°
，点D是AB上一点，且AC＝8，∠DCA＝45°
，AE⊥BC于点E，交CD于点F．
（1）如图1，若AB＝2AC，求AE的长；
（2）如图2，若∠B＝30°
，求△CEF的面积；
（3）如图3，点P是BA延长线上一点，且AP＝BD，连接PF，求证：
PF+AF＝BC
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°
，AB＝3，BC＝4，过点A作射线AM∥BC，点D、E是射线AM上的两点（点D不与点A重合，点E在点D右侧），联结BD、BE分别交边AC于点F、G，∠DBE＝∠C．
（1）当AD＝1时，求FB的长；
（2）设AD＝x，FG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）联结DG并延长交边BC于点H，如果△DBH是等腰三角形，请直接写出AD的长．
10．如图，已知CD是线段AB的垂直平分线，垂足为D，C在D点上方，∠BAC＝30°
，P是直线CD上一动点，E是射线AC上除A点外的一点，PB＝PE，连BE．
（1）如图1，若点P与点C重合，求∠ABE的度数；
（2）如图2，若P在C点上方，求证：
PD+AC＝CE；
（3）若AC＝6，CE＝2，则PD的值为 （直接写出结果）．
参考答案
1．解：
（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°
，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
在Rt△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠ABC＝45°
+45°
＝90°
∴BD⊥CE，
故答案为：
BD＝CE；
BD⊥CE；
（2）①BC+DC＝EC；
∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴BD＝CE，
∴CE＝BD＝BC+CD，
BC+CD＝EC；
②由①知，△ABD≌△ACE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∴∠BCE＝∠DCE＝90°
根据勾股定理得出，AE2+AD2＝DE2，CE2+CD2＝DE2，
∴AE2+AD2＝CE2+CD2．
∵AE＝AD，BD＝CE，
∴2AD2＝BD2+CD2．
即BD2+CD2＝2AD2；
（3）如图3，过点A作AE⊥AD，且AE＝AD，连接DE，CE，
∴△ADE是等腰直角三角形．
∴∠ADE＝45°
．
∵∠ADC＝45°
∴∠CDE＝90°
由
（2）中①可知，△ABD≌△ACE，
∵BD＝13，CD＝5，
∴CE＝13，
在Rt△CDE中，
∵∠CDE＝90°
∴DE2+CD2＝CE2，
∴DE2＝CE2﹣CD2＝144，
∴DE＝12，
在Rt△ADE中，
∵∠EAD＝90°
∴AE2+AD2＝DE2，
∴2AD2＝144；
∴AD＝6．
2．解：
（1）∵a2﹣2ab+2b2﹣16b+64＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣8）2＝0，
∴a＝b＝8，
∴b﹣6＝2，
∴点C（2，﹣8）；
（2）∵a＝b＝8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，﹣8），
∴AO＝6，OB＝8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，
∴四边形AOBP是矩形，
∴AO＝BP＝6，AP＝OB＝8，
∵点B（8，0），点C（2﹣8），
∴CQ＝6，BQ＝8，
∴AP＝BQ，CQ＝BP，
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴AB＝BC，∠BAP＝∠CBQ，
∵∠BAP+∠ABP＝90°
∴∠ABP+∠CBQ＝90°
∴∠ABC＝90°
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝45°
∴∠OAC+∠ABO＝45°
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，
∴∠TAE＝90°
＝∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO＝90°
＝∠TAO+∠GAE＝∠GAE+∠AEG，
∴∠ATO＝∠GAE，∠TAO＝∠AEG，
又∵EG＝AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
∴AT＝AE，OT＝AG，
∵∠BAC＝45°
∴∠TAD＝∠EAD＝45°
又∵AD＝AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS），
∴TD＝ED，∠TDA＝∠EDA，
∵EG⊥AG，
∴EG∥OB，
∴∠EFD＝∠TDA，
∴∠EFD＝∠EDF，
∴EF＝ED，
∴EF＝ED＝TD＝OT+OD＝AG+OD，
∴EF＝AG+OD．
3．
（1）证明：
∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°
BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）解：
△ADO是直角三角形．
理由如下：
∵△BOC≌△ADC，
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°
，∠ODC＝60°
∴∠ADO＝150°
﹣60°
∴△ADO是直角三角形；
（3）解：
∵∠COB＝∠CAD＝α，∠AOD＝190°
﹣α，∠ADO＝α﹣60°
，∠OAD＝50°
①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，
∴190°
﹣α＝α﹣60°
∴α＝125°
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO，
∴α﹣60°
＝50°
∴α＝110°
③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD，
﹣α＝50°
∴α＝140°
所以，当α为125°
、110°
、140°
时，△AOD是等腰三角形．
4．
（1）证明：
∵∠BAC＝90°
，D为BC中点，
∴AD＝BD＝CD，
∵∠BCA＝30°
∴∠ABD＝∠DAB＝90°
﹣30°
＝60°
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝60°
，AE＝AD＝DE，
∴CD＝DE，
∵∠CDE＝180°
﹣∠ADE﹣∠ADB＝180°
∴△CDE是等边三角形，
∴CE＝DE，
∴AE＝CE；
AE与CE的数量关系为：
AE＝CE，理由如下：
取BC中点为O，连接AO、EO，如图2所示：
，O为BC中点，
∴AO＝BO，
∴∠ABO＝∠OAB＝90°
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝AO，∠BAO＝∠AOB＝60°
∴AD＝AE，∠DAE＝∠ADE＝60°
∴∠BAO＝∠DAE，
∴∠BAO+∠OAD＝∠DAE+∠OAD，
即：
∠BAD＝∠OAE，
在△BAD和△OAE中，
∴△BAD≌△OAE（SAS），
∴∠AEO＝∠ADO，
∴A、O、D、E四点共圆，
∴∠AOE＝∠ADE＝60°
∴∠EOD＝180°
﹣∠AOE﹣∠AOB＝180°
∴∠EOD＝∠ABO，
∴AB∥OE，
∴OE⊥AC，
∵O是BC的中点，
∴OE垂直平分AC，
，AB＝5，
∴AO＝OC＝5，BC＝2AB＝10，
由
（2）得：
点E的轨迹是AC的垂直平分线OE，如图3所示：
当BE最小时，BE⊥OE，
∵∠AOB＝60°
∴∠AOC＝120°
∵OA＝OC，OE⊥AC，
∴∠BOE＝∠AOC＝60°
∴∠OBE＝30°
∴OE＝OB＝BC＝，
在直线OE的左侧取点F，使EF＝OA，连接DF，
∵∠DAO＝∠DAE+∠EAO＝60°
+∠EAO，∠DEF＝180°
﹣∠DEA﹣∠AEO＝180°
﹣（60°
﹣∠EAO）＝60°
+∠EAO，
∴∠DAO＝∠DEF，
在△DAO和
升级会员 