五年级奥数教师解析版含答案16直线形面积文档格式.docx
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又夹成两角的边EA、AH,AB、AD的乘积比,=2×
3=6,所以=6.
类似的,还可得=6,有+=6(+)=6=30平方厘米.
连接AC,还可得=6,=6,有+=6(+)=6
=30平方厘米.
有四边形EFGH的面积为△EAH,△FCG,△EFB,△DHG,ABCD的面积和,即为30+30+5=65平方厘米.
评注:
方法二用到了一个比较重要的性质,若两个三角形的某对夹角相等或互补(和为180°
),那么构成这个角的两边乘积的比为面积比.
这个原则,我们可以在中学数学中的三角部分学到,当然我们也可以简单的利用比例性质及图形变换来说明,有兴趣的同学可以自己试试.
3.图16-3中的四边形土地的总面积是52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷.那么最大的一个三角形的面积是多少公顷?
如下图所示,为了方便叙述,将某些点标上字母.
因为△ADE、△DEC高相同,所以面积比为底的比,有=,所以=×
6.同理有=,所以=×
7.
所以有△ADE与△ABE的面积比为6:
7.又有它们的面积和为52-(6+7)=39(公顷.)
所以=×
39=18(公顷),=×
39=21(公顷.)
显然,最大的三角形的面积为21公顷.
方法二:
直接运用例2评注中的重要原则,在△ABE,△CDE中有∠AEB=∠CED,所以△ABE,△CDE的面积比为(AE×
EB):
(CE×
DE).
同理有△ADE,△BCE的面积比为(AE×
DE):
(BE×
EC).
所以有×
=×
,也就是说在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.
即×
6=×
7,所以有△ABE与△ADE的面积比为7:
6,=×
39=21公顷,=×
39=18公顷.
评注:
在方法二中,给出一个很重要的性质:
在所有凸四边形中,连接顶点得到2条对角线,有图形分成上、下、左、右4个部分,有:
上、下部分的面积之积等于左右部分的面积之积.希望大家牢牢记住,并学会在具体问题中加以运用.
4.如图16-4,已知.AE=AC,CD=BC,BF=AB,那么等于多少?
【分析与解】如下图,连接AD,BE,CF.
有△ABE,△ABC的高相等,面积比为底的比,则有=,所以=×
=
同理有=,即==×
=.
类似的还可以得到=×
=,=×
=.
所以有=-(++)=(1---)=.
即为.
5.如图16-5,长方形ABCD的面积是2平方厘米,EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图,连接FC,△DBF、△BFG的面积相等,设为x平方厘米;
△FGC、△DFC的面积相等,设为y平方厘米,那么△DEF的面积为y平方厘米.
=2x+2y=1,=x+y=l×
所以有.
比较②、①式,②式左边比①式左边多2x,②式右边比①式右边大0.5,有2x=0.5,即x=0.25,y=0.25.
而阴影部分面积为y+y=×
0.25=平方厘米.
评注:
将这种先利用两块独立的图形来表达相关图形的面积,再根据已知条件列出一个二元一次方程组,最终求出解的方法称为“凌氏类蝶形法”.
类蝶形问题必须找好两块独立的图形,还必须将边的比例关系转化为面积的比例关系.
类似的还有一道题:
△ABC中,G是AC的中点,D、F是BC边上的四等分点,AD与BG交于M,AF与BG交于N,已△ABM的面积比四边形FCGN的面积大1.2平方厘米,则△ABC的面积是_______平方厘米?
有兴趣的同学可以自己试试.
6.如图16-6,已知D是BC中点,E是CD的中点,F是AC的中点.三角形ABC由①~⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形ABC的面积是多少平方厘米?
【分析与解】因为E是DC中点,F为Ac中点,有AD=2FE且阳平行于AD,则四边形ADEF为梯形.
在梯形ADEF中有③=④,②×
⑤=③×
④,②:
⑤=A:
F=4.
又已知②-⑤=6,所以⑤=6÷
(4-1)=2,②=⑤×
4:
8,所以②×
⑤=④×
④:
16,而③=④,所以③=④=4,梯形ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为8+4+4+2=18.
有△CEF与△ADC的面积比为CE平方与CD平方的比,即为1:
4.所以△ADC面积为梯形ADEF面积的=,即为18×
=24.
因为D是BC中点,所以△ABD与△ADC的面积相等,而△ABC的面积为△ABD、△ADC的面积和,即为24+24=48平方厘米.
三角形ABC的面积为48平方厘米.
梯形中连接两条对角线.则分梯形为4部分,称之为:
上、下、左、右.如下图:
运用比例知识,知道:
①上、下部分的面积比等于上、下边平方的比.
②左、右部分的面积相等.
③上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积.
7.图16-7是一个各条边分别为5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.如图16-8,将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么图16—8中的阴影部分(即未被盖住的部分)的面积是多少平方厘米?
【分析与解】如下图,为了方便说明,将某些点标上字母.
有∠ABC为直角,而∠CED=∠ABC,所以∠CED也为直角.而CE=CB=5.
△ADE与△CED同高,所以面积比为底的比,及===,设△ADE的面积为“8”,则△CED的面积为“5”.
△CED是由△CDB折叠而成,所以有△CED、△CDB面积相等,△ABC是由△ADE、△CED、△CDB组成,所以=“8”+“5”+“5”=“18”对应为×
5×
12=30,所以“1”份对应为,那么△ADE的面积为8×
=13平方厘米.
即阴影部分的面积为13平方厘米.
8.如图16-9,在一个梯形内有两个三角形的面积分别为10与12,已知梯形的上底长是下底长的.那么余下阴影部分的面积是多少?
【分析与解】不妨设上底长2,那么下底长3,则上面部分的三角形的高为10÷
2×
2=10,下面部分的三角形的高为12÷
3×
2=8,则梯形的高为lO+8=18.
所以梯形的面积为×
(2+3)×
18=45,所以余下阴影部分的面积为45-10-12=23.
这道题中上下底、梯形的高都不确定,但是余下阴影部分的面积却是确定的值,所以面积值与上下底、高的确定值无关,所以可以大胆假设,当然也可以谨慎的将上底设为2x下底为3x.
9.图16-10中ABCD是梯形,三角形ADE面积是1.8,三角形ABF的面积是9,三角形BCF的面积是27.那么阴影部分面积是多少?
【分析与解】设△ADF的面积为“上”,△BCF的面积为“下”,△ABF的面积为“左”,△DCF的面积为“右”.
左=右=9;
上×
下=左×
右=9×
9=81,而下=27,所以上=81÷
27=3.
△ADE的面积为1.8,那么△AEF的面积为1.2,则EF:
DF=:
=1.2:
3=0.4.
△CEF与△CDF的面积比也为EF与DF的比,所以有=0.4×
=0.4×
(3+9)=4.8.
即阴影部分面积为4.8.
10.如图16-11,梯形ABCD的上底AD长为3厘米,下底BC长为9厘米,而三角形ABO的面积为12平方厘米.则梯形ABCD的面积为多少平方厘米?
【分析与解】△ADD与△BCO的面积比为AD平方与BC平方的比,即为9:
81=.
而△DCO与△ABO的面积相等为12,又×
=12×
12=144,
因为144÷
9=4×
4,所以=4,则=4×
9=36,
而梯形ABCD的面积为△ADO、△BCO、△ABO、△CDO的面积和,即为4+36+12+12=64平方厘米.
即梯形ABCD的面积为64平方厘米.
11.如图16-12,BD,CF将长方形ABCD分成4块,红色三角形面积是4平方厘米,黄色三角形面积是6平方厘米.问:
绿色四边形面积是多少平方厘米?
【分析与解】连接BF,四边形BCDF为梯形,则BFE的面积与黄色CDE的面积相等为6.,所以.
.
又因为BD是长方形ABCD的对角线,
所以.
绿色四边形面积为11平方厘米.
12.如图16-13,平行四边形ABCD周长为75厘米.以BC为底时高是14厘米;
以CD为底时高是16厘米.求平行四边形ABCD的面积.
【分析与解】因为平行四边形面积等于底与对应高的积,所以有14×
BC=16×
CD,即BC:
CD=8:
7,而2(BC+CD)=75,所以BC=20,以BC为底,对应高为14,20×
14=280,所以平行四边形ABCD的面积为280平方厘米.
13.如图16-14,一个正方形被分成4个小长方形,它们的面积分别是平方米、平方米、平方米和平方米.已知图中的阴影部分是正方形,那么它的面积是多少平方米?
【分析与解】为了方便叙述,将某些点标上字母,如下图:
大正方形的面积为,所以大正方形的边长应为1.
上面两个长方形的面积之比为=3:
4,所以IG=.
下面两个长方形的面积之比为=2:
l,所以IG=.
那么LI=,那么阴影小正方形的面积为.
14.图16-15中外侧的四边形是一边长为10厘米的正方形,求阴影部分的面积.
【分析与解】如下图所示,所以阴影部分在图中为四边形EFGH.设阴影部分面积为“阴”平方厘米,正方形内的其他部分面积设为“空”平方厘米.
DGH、HMG的面积相等,GCF与GPF;
FBE与EOF,HAE与HNE这3对三角形的面积也相等.
阴一空=2×
3=6,阴+空=lO×
10=100.
阴=(6+100)÷
2=53.
即阴影部分的面积为53平方厘米.
15.如图16-16,长方形被其内的一些直线划分成了若干块,已知边上有3块面积分别是13,35,49.那么图中阴影部分的面积是多少?
【分析与解】如下图所示,为了方便叙述,将部分区域标上序号,设阴影部分面积为“阴”:
(49+①+35)+(13+②)=矩形的面积,
①+阴+②=矩形的面积.
比较上面两个式子可得阴影部分的面积为97.