届高考数学一轮复习讲义及课时作业全国通用第二章第5节指数与指数函数Word文档格式.docx
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(2)指数函数的图象与性质
a>
1
0<
a<
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
当x>
0时,y>
1;
当x<
0时,0<
y<
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
[常用结论与微点提醒]
1.在第一象限内,指数函数y=ax(a>
0且a≠1)的图象越高,底数越大.
2.指数函数的单调性仅与底数a的取值有关.
3.画指数函数y=ax(a>
0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:
(1,a),(0,1),.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×
”)
(1)=-4.( )
(2)(-1)=(-1)=.( )
(3)函数y=2x-1是指数函数.( )
(4)函数y=ax2+1(a>
1)的值域是(0,+∞).( )
解析
(1)由于==4,故
(1)错.
(2)(-1)==1,故
(2)错.
(3)由于指数函数解析式为y=ax(a>0,且a≠1),
故y=2x-1不是指数函数,故(3)错.
(4)由于x2+1≥1,又a>1,∴ax2+1≥a.
故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞),(4)错.
答案
(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
2.(教材例题改编)若函数f(x)=ax(a>
0,且a≠1)的图象经过,则
f(-1)=( )
A.1B.2C.D.3
解析 依题意可知a2=,解得a=,
所以f(x)=,所以f(-1)==.
答案 C
3.(2017·
北京卷)已知函数f(x)=3x-,则f(x)( )
A.是偶函数,且在R上是增函数
B.是奇函数,且在R上是增函数
C.是偶函数,且在R上是减函数
D.是奇函数,且在R上是减函数
解析 ∵函数f(x)的定义域为R,
f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数.
∵函数y=在R上是减函数,
∴函数y=-在R上是增函数.
又∵y=3x在R上是增函数,
∴函数f(x)=3x-在R上是增函数.
答案 B
4.设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是( )
A.a<
b<
cB.a<
c<
b
C.b<
cD.b<
a
解析 根据指数函数y=0.6x在R上单调递减可得0.61.5<
0.60.6<
0.60=1,而c=1.50.6>
1,∴b<
c.
5.(2018·
青岛调研)已知函数f(x)=ax-2+2的图象恒过定点A,则A的坐标为( )
A.(0,1)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,2)
解析 由a0=1知,当x-2=0,即x=2时,f
(2)=3,即图象必过定点(2,3).
考点一 指数幂的运算
【例1】化简下列各式:
(1)+2-2·
-(0.01)0.5;
(2)a·
b-2·
(-3a-b-1)÷
.
解
(1)原式=1+×
-
=1+×
-=1+-=.
(2)原式=-a-b-3÷
(4a·
b-3)
=-a-b-3÷
(ab-)=-a-·
b-
=-·
=-.
规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂,以便利用法则计算,但应注意:
(1)必须同底数幂相乘,指数才能相加;
(2)运算的先后顺序.
2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.
3.运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数.
【训练1】化简下列各式:
(1)[(0.064)-2.5]--π0;
(2).
解
(1)原式=--1
=--1
=--1=0.
(2)原式=
=a---·
b+-=.
考点二 指数函数的图象及应用
【例2】
(1)函数f(x)=1-e|x|的图象大致是( )
(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是________.
解析
(1)f(x)=1-e|x|是偶函数,图象关于y轴对称,又e|x|≥1,
∴f(x)的值域为(-∞,0],
因此排除B,C,D,只有A满足.
(2)曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可知:
如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].
答案
(1)A
(2)[-1,1]
规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.
2.有关指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数形结合求解.
【训练2】
(1)(2018·
东北三校联考)函数f(x)=ax-1(a>
0,a≠1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是( )
A.y=B.y=|x-2|
C.y=2x-1D.y=log2(2x)
(2)(2018·
长沙一中质检)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是________.
解析
(1)由题意,得点A(1,1),将点A(1,1)代入四个选项,y=的图象不过点A(1,1).
(2)将函数f(x)=|2x-2|-b的零点个数问题转化为函数y=|2x-2|的图象与直线y=b的交点个数问题,数形结合求解.
在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.
∴当0<
2时,两函数图象有两个交点,从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点.
∴b的取值范围是(0,2).
答案
(1)A
(2)(0,2)
考点三 指数函数的性质及应用(易错警示)
【例3】
(1)(2018·
承德模拟)若函数f(x)=的值域是,则f(x)的单调递增区间是________.
(2)下列各式比较大小正确的是( )
A.1.72.5>
1.73B.0.6-1>
0.62
C.0.8-0.1>
1.250.2D.1.70.3<
0.93.1
解析
(1)令g(x)=ax2+2x+3,
由于f(x)的值域是,
所以g(x)的值域是[2,+∞).
因此有解得a=1,
这时g(x)=x2+2x+3,f(x)=.
由于g(x)的单调递减区间是(-∞,-1],
所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1].
(2)A中,∵函数y=1.7x在R上是增函数,2.5<
3,
∴1.72.5<
1.73,错误;
B中,∵y=0.6x在R上是减函数,-1<
2,
∴0.6-1>
0.62,正确;
C中,∵(0.8)-1=1.25,
∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小.
∵y=1.25x在R上是增函数,0.1<
0.2,
∴1.250.1<
1.250.2,即0.8-0.1<
1.250.2,错误;
D中,∵1.70.3>
1,0<
0.93.1<
1,
∴1.70.3>
0.93.1,错误.故选B.
答案
(1)(-∞,-1]
(2)B
规律方法 1.比较指数式的大小的方法是:
(1)能化成同底数的先化成同底数幂,再利用单调性比较大小;
(2)不能化成同底数的,一般引入“1”等中间量比较大小.
2.求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
易错警示 在研究指数型函数的单调性时,当底数a与“1”的大小关系不确定时,要分类讨论.
【训练3】
(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为( )
cB.c<
C.a<
bD.c<
滁州质检)当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)·
4x-2x<
0恒成立,则实数m的取值范围是________.
解析
(1)由函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数,得m=0,所以f(x)=2|x|-1,当x>
0时,f(x)为增函数,
log0.53=-log23,所以log25>
|-log23|>
0,
所以b=f(log25)>
a=f(log0.53)>
c=f(2m)=f(0),
故b>a>c.
(2)原不等式变形为m2-m<
,
又y=在(-∞,-1]上是减函数,知≥=2.
故原不等式恒成立等价于m2-m<
2,解得-1<
m<
2.
答案
(1)B
(2)(-1,2)
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(2017·
沈阳模拟)若a=,b=x2,c=logx,则当x>
1时,a,b,c的大小关系是( )
A.c<
bB.c<
cD.a<
解析 当x>
1时,0<
a=x<
,b=x2>
1,c=logx<
0,所以c<
b.
答案 A
2.(2018·
河北八所重点中学一模)设a>
0,将表示成分数指数幂的形式,其结果是( )
A.aB.aC.aD.a
解析 原式===a.
3.(2018·
南阳、信阳等六市一模)设x>
0,且1<
bx<
ax,则( )
A.0<
1B.0<
1
C.1<
aD.1<
解析 ∵x>
0时,1<
bx,∴b>
1.
∵x>
0时,bx<
ax,∴x>
0时,>
∴>
1,∴a>
b,∴1<
a.
4.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( )
A.a>
1,b<
B.a>
1,b>
C.0<
D.0<
解析 由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0<
函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b<
0.
答案 D
宝鸡调研)若函数f(x)=a|2x-4|(a>
0,且a≠1),满足f
(1)=,则f(x)的单调递减区间是( )
A.(-∞,2]B.[2,+∞)
C.[-2,+∞)D.(-∞,-2]
解析 由f
(1)=,得a2=,解得a=或a=-(舍去),即f(x)=.
由于y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
二、填空题
6.不等式2x2-x<
4的解集为___