黄冈中学自主招生考试数学模拟测试题一答案文档格式.docx

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A．9 B．12 C．13 D．12或13

8．已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经过第一象限，若S=a+b﹣c，则S的取值范围是（　　）

A．S≤﹣3 B．S＜2 C．S≤2 D．S＜﹣3

9．函数y=2x2+4x﹣5中，当﹣3≤x＜2时，则y值的取值范围是（　　）

A．﹣3≤y≤1 B．﹣7≤y≤1 C．﹣7≤y≤11 D．﹣7≤y＜11

10．如图是二次函数y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），对称轴为x=﹣1．给出四个结论：

①b2＞4ac，②2a+b=0；

③a﹣b+c=0；

④5a＜b．其中正确结论是（　　）

A．②④ B．①④ C．②③ D．①③

二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）

11．已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式值为　　．

12．定义新运算“*”规则：

a*b=，如1*2=2，（﹣）*=，若x2+x﹣1=0两根为x1，x2，则x1*x2=　　．

13．若+b2+2b+1=0，则a2+﹣|b|=　　．

14．a、b为实数，且满足ab+a+b﹣8=0，a2b+ab2﹣15=0，则（a﹣b）2=　　．

15．关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1=0只有一个实数根，则a的取值范围是　　．

16．已知二次函数f（x）=x2﹣2x﹣n2﹣n的图象与x轴的交点为（an，0），（bn，0），则式子++…++++…+=　　．

17．若二次函数y=x2+（a+17）x+38﹣a与反比例函数y=的交点是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），则正整数a的值是　　．

18．函数y=ax+6（其中a，b是整数）的图象与三条抛物线y=x2+3，y=x2+6x+7，y=x2+4x+5分别有2、l、0个交点，则（a，b）=　　．

　三．解答题（共5小题，合计58分。

）

19．已知m，n是方程x2+3x+1=0的两根

（1）求（m+5﹣）﹣的值

（2）求+的值．（12分）

20．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．（10分）

21．已知x1，x2是一元二次方程（a﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．

（1）是否存在实数a，使﹣x1+x1x2=4+x2成立？

若存在，求出a的值；

若不存在，请你说明理由；

（2）求使（x1+1）（x2+1）为负整数的实数a的整数值．（10分）

23．已知：

△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形？

并求△ABC的周长．（12分）

24．已知二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）图象的顶点G在直线AB上，其中

A（﹣，0）、B（0，3），对称轴与x轴交于点E．（14分）

（1）求二次函数y=ax2﹣4ax+a2+2的关系式；

（2）点P在对称轴右侧的抛物线上，且AP平分四边形GAEP的面积，求点P坐标；

（3）在x轴上方，是否存在整数m，使得当＜x≤时，抛物线y随x增大而增大？

若存在，求出所有满足条件的m值；

若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

【分析】题目中已知x+y=6及xy=z2+9，容易得知x，y为根的二次方程t2﹣6t+z2+9=0，再根据根的判别式即可求解．

【解答】解：

∵实数x、y、z满足x+y=6，z2=xy﹣9即xy=z2+9，

∴以x，y为根的二次方程为t2﹣6t+z2+9=0，

其中△=36﹣4（z2+9）=﹣4z2≥0，

所以z=0．

故选B．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式的运用，难度适中，关键要掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q．

【分析】根据判别式的意义得到m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，解得m＞1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三象限，且与y轴的交点在x轴下方．

根据题意得m≠0且△=（﹣2）2﹣4m＜0，

解得m＞1，

∵m﹣1＞0，﹣m＜0，

∴一次函数y=（m﹣1）x﹣m图象经过第一、三、四象限．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；

当△=0，方程有两个相等的实数根；

当△＜0，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．

【分析】先根据a+=4解关于的一元二次方程即可得出a，再根据b2+b=4求出b，从而得出的值即可．

∵a+=4，b2+b=4，

∴解关于、b的一元二次方程可得出=，b=，

∵a＞0，

∴=，b=，

∴a=，

∴=+，

即=+或=+，

∴=或=；

【点评】本题考查了根与系数的关系，无理方程以及代数式求值、用公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解此题的关键．

【分析】根据勾股定理求的a2+b2=25，即a2+b2=（a+b）2﹣2ab①，然后根据根与系数的关系求的a+b=m﹣1②ab=m+4③；

最后由①②③联立方程组，即可求得m的值．

∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°

，两条直角边a、b，

∴a2+b2=25，

又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，

∴（a+b）2﹣2ab=25，①

∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，

∴a+b=m﹣1，②

ab=m+4，③

由①②③，解得

m=﹣4，或m=8；

当m=﹣4时，ab=0，

∴a=0或b=0，（不合题意）

∴m=8；

故选D．

【点评】本题综合考查了根与系数的关系、勾股定理的应用．解答此题时，需注意作为三角形的两边a、b均不为零这一条件．

【分析】设a﹣b=x，ab=t，再将转化成a﹣b，ab的形式，从而求出a﹣b，ab的值，再确定出ab的最大值．

设a﹣b=x，ab=t，=

∴，

△=b2﹣4ac=8﹣8t≥0，

∴t≤1

仅当时，a﹣b=2，ab=1成立，

故选A．

【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程以及根的判别式，是基础知识要熟练掌握．

　6．设关于x的方程ax2+（a+2）x+9a=0，有两个不相等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么实数a的取值范围是（　　）

【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于a的不等式，求出a的取值范围．又存在x1＜1＜x2，即（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，利用根与系数的关系，从而最后确定a的取值范围．

方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而x1＜1＜x2，可以看成是二次函数y=ax2+（a+2）x+9a的图象与x轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量x=1时，对应的函数值的符号，即可得出结论．

方法1、∵方程有两个不相等的实数根，

则△＞0，

∴（a+2）2﹣4a×

9a=﹣35a2+4a+4＞0，

解得﹣＜a＜，

∵x1+x2=﹣，x1x2=9，

又∵x1＜1＜x2，

∴x1﹣1＜0，x2﹣1＞0，

那么（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＜0，

即9++1＜0，

解得＜a＜0，

最后a的取值范围为：

＜a＜0．

方法2、由题意知，a≠0，令y=ax2+（a+2）x+9a，

由于方程的两根一个大于1，一个小于1，

∴抛物线与x轴的交点分别在1两侧，

当a＞0时，x=1时，y＜0，

∴a+（a+2）+9a＜0，

∴a＜﹣（不符合题意，舍去），

当a＜0时，x=1时，y＞0，

∴a+（a+2）+9a＞0，

∴a＞﹣，

∴﹣＜a＜0，

【点评】总结：

1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0⇔方程没有实数根．

2、根与系数的关系为：

x1+x2=﹣，x1x2=．

【分析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．

解方程x2﹣7x+12=0得第三边的边长为3或4．

∵3＜第三边的边长＜9，

∴第三边的边长为4，

∴这个三角形的周长是3+6+4=13．

故选C．

【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：

大于已知的两边的差，而小于两边的和．

【分析】将A、B两点的坐标代入得出关于a、b、c的方程组，将a看做常数解次方程组得，将其代入得S=a+b﹣c=2a﹣2，结合二次函数的图象与性质知a＜0、c=2a+1≤0，据此得出a的范围，继而可得S的范围，即可得出答案．

由题意，得：

，

解得：

则S=a+b﹣c=a+（3a﹣1）﹣（2a+1）=2a﹣2，

由抛物线过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点