解分式方程的特殊方法与技巧Word文件下载.doc

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（2）换元法

　　为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程．

　　用换元法解分式方程的一般步骤：

　　（i）设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；

　　（ii）解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；

　　（iii）把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值；

　　（iv）检验做答．

（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。

它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。

（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。

　　（3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。

　　二、例题精析：

　　例1．解分式方程：

。

　　分析：

解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。

　　解：

方程两边都乘以x（x+2），约去分母，得

　　x+4-x=2（x+2）+x（x+2）

　　整理后，得x2+4x=0

　　解这个方程，得x1=0,x2=-4,

　　代入公分母检验：

　　当x1=0时，x（x+2）=0×

（0+2）=0,∴x=0是增根；

　　当x2=-4时，x（x+2）=-4×

（-4+2）≠0,∴x=-4是原方程的根。

　　故原方程的根是x=-4。

　　例2．解方程：

本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；

考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程化简。

　　即，

　　移项，整理，得，

　　亦即

　　去分母，得（x-6）（x-5）=（x-9）（x-8），去括号，整理，得x=7.

经检验，x=7是原方程的根。

∴原方程的根是x=7。

　　例3．解方程。

　　解法1：

方程两边都乘以（x+4）（x+5）（x+2）（x+3），去分母，得

　　（x+3）2（x+5）（x+2）-（x+4）2（x+2）（x+3）

　　=（x+1）（x+4）（x+5）（x+3）-（x+2）2（x+4）（x+5）

　　即4x+14=0,　∴，

　　经检验知是原方程的解。

　　解法2：

方程两边分别通分，得

　　，

　　即　，

　　∴（x+5）（x+4）=（x+2）（x+3）

　　解得。

　　解法3：

利用拆分分式的方法将原来的方程变形。

　原方程可化为

　　即：

，

　　两边分别通分，得，

　　解之，得。

　　例4．解方程。

设，则原方程变形为y2-5y+6=0,

　　解得y1=2,y2=3,

　　由=2，解得x1=4;

　　由，解得x2=3.

　　经检验x1=4,x2=3，都是原方程的根。

　　例5．用换元法解方程.

设2x2+3x=y，于是原方程变为,

　　整理，得y2-4y-5=0

　　解得y1=5,y2=-1.

　　当y=5时，即2x2+3x=5,

　　解得x1=1,,

　　当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1,,

　　经检验，都是原方程的根。

　　∴原方程的根为。

　　例6．解方程。

利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来解。

设，所以原方程变形为：

y+=7,

　　整理得：

y2-7y+10=0

　　解得y1=2,y2=5，

　　当y1=2时，即，

　　　　∴x1=0,x2=2;

　　当y2=5时，，

　　即x2-5x+9=0（Δ<

0，此方程无实根）

　　经检验，x1=0,x2=2是原方程的解。

　　例7．解方程.

此方程初看起来容易把，，而实际上，

　　所以.但是,就是说原方程可变形为,变形后才可用换元法解此方程。

解：

原方程可化为

　　即,

　　设,则原方程可化为：

2y2-3y-5=0

　　解得y1=-1,y2=,

　　当y=-1时，,

　　去分母整理，得x2+x+1=0

　　解这个方程，∵Δ<

0,∴方程无解。

　　当y=时，,去分母整理，得2x2-5x+2=0

　　解得x1=2,,

　　经检验，x1=2,都是原方程的根。

　　∴原方程的根是x1=2,。

切勿把。

　　例8．若分式方程有增根x=2，求a的值。

将方程的两边同乘以最简公分母（x+2）（x-2），

　　得a（x+2）+1+2（x+2）（x-2）=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a（x+2）+1+2（x+2）（x-2）=0的根，代入之即可求出a。

原分式方程去分母，得a（x+2）+1+2（x+2）（x-2）=0

　　把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0,a=-,

　　∴当a=-时,x=2是原分式方程的增根。

测试

　　选择题

　　1．方程x-=2-的根的情况是（　）

　　A、只有一解x=2　　　B、任意实数都是解

　　C、无解　　　　　　D、解为x≠2

　　2．用换元法解方程+=，下列变形正确的是（　）

　　A、设=y，原方程变形为y+=，去分母得2y2+5y+2=0

　　B、设=y，原方程变形为y+-1=，去分母得2y2-7y+2=0

　　C、设=y，原方程变形为+=，去分母得y2-5y+3=0

　　D、设=y，原方程变形为+=，去分母得y2-5y+6=0

　　3．如果设y=-5，则对于方程（-5）2+-13=0，下面变形正确的是（　）

　　A、y2-2y-8=0　　　　B、y2+2y-3=0

　　C、y2+2y-13=0　　　D、y2-2y-23=0 

　　4．若x=1是方程的增根，则m的值为（c　）

　　A、1　　B、-1　　　　C、-3　　　　D、3

　　5．方程会产生增根,则a的值为（c　）

　　A、1　　　B、-2　　　C、1或-2　　　D、以上都不对。

　　6．方程=0的根是（　）　

　　A、-1　　　B、2　　　　C、-1或2　　　　D、1或-2

　　7．使分式方程产生增根的k的值是（　）

　　A、0　　　　B、0或2　　　C、1　　　　D、2

　　8．用换元法解方程,设，则方程变形为（　）。

　　A、6y2+5y-38=0　　　B、6y2+5y-40=0

　　C、6y2+5y-26=0　　　D、6y2+5y-50=0

　　9．方程的根为（　）

　　A、x=2　　　B、x=　　　　C、x=3　　　　　D、x=-5,或x=3

　　10．某项工程，甲独做需a天，乙独做需b天，甲、乙合做完成任务需要的天数是（　）。

　　A、　　　B、　　　C、a+b　　　D、

答案与解析

　　答案：

1、C　2、D　3、B　4、C　5、C　6、B　7、A　8、D　9、D　10、D

　　解析：

　　1、答案：

选C。

　　移项，整理得x=2，但当x=2时，分母x-2=0，则x=2为增根，原方程无解。

2、答案：

2．选D。

　　3、答案：

选B。

　　原方程

　设　原方程变为：

y2+2y-3=0。

　　4．答案：

　　原方程两边乘以（x-1）（x-2）得：

x2-4+x2+2x-3=m即：

2x2+2x-7-m=0

　　则x=1是方程2x2+2x-7-m=0的根，代入x=1得：

　　∴2+2-7-m=0,m=-3.

　　5.答案：

　　两边乘以x（x-1）　得x2+2x-2-a=0,

　　若原方程有增根，则有增根x=1或x=0，而x=1或x=0是整式方程x2+2x-2-a=0的两根，将x=1或x=0代入整式方程　得a=1或a=-2，选C。

　　6．答案：

　　由，去分母得（x+1）（x-2）=0　得x=-1或x=2，经检验，x=-1是增根，则原方程的根为x=2。

　　7．答案：

选A。

　　分式方程的增根为x=2或x=-2，

　　而x=2或x=-2，一定是去分母得到的整式方程的解。

　　原方程两边乘以（x-2）（x+2）得x2-2x-x2+4=k2x+2k2

　整理得：

（k2+2）x=4-2k2,

　　∴,

　　则：

　　解得：

k=0.

　　8．答案：

选D。

原方程变形为，则原方程变形为6（y2-2）+5y-38=0，整理得：

6y2+5y-50=0.

9．答案：

方程两边乘以x2-4　得15=2x+4+x2-4　即：

x2+2x-15=0,

x1=-5或x2=3，经检验，x=-5或x=3都是原方程的根。

　　10．答案：

　　整个工程看成整体1，则甲，乙的工作效率分别为，则合作工作效率为，则甲，乙合作用的时间为。

中考解析

分式方程

　　考点讲解

　　1．解分式方程的基本思想方法是：

把分式方程通过去分母或换元转化成整式方程，然后用解整式方程的方法去求解，但在转化过程中，可能会使分式方程增根，所以最后一定要验根。

　　2．去分母法解分式方程的步骤：

（1）去分母，即方程两边同乘以各分母的最简公分母，约去分母，得到一个整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根。

　　3．用换元法解分式方程的步骤：

（1）根据分式方程中的特点设某一分式为另一未知字母；

（2）写出符合原方程式的用新字母表示的变形方程；

（3）解换元所得新方程，求得未知字母的值；

（4）把新未知字母值代入第一步所设的分式，求得原方程未知数的值；

（5）验根。

　　4．分式方程验根的方法：

（1）将解得整式方程的根代入原方程，使方程左右两边相等的未知数的值是原方程的根，否则是增根；

（2）将解得整式方程的根代入最简公分母中，如果不使最简公分母等于0，就是原方程的根，反之则为增根。

　　考题评析

　　1．（甘肃省）一组学生去春游，预计共需费用120元，后来又有2人参加进来，总费用不变，于是每人可少分摊3元，原来这组学生的人数是（）

　　（A）8　　（B）10　　（