线段和差最值问题学生版Word文件下载.doc
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1、在一条直线m上,求一点P,使PA+PB最小;
(1)点A、B在直线m两侧:
(2)点A、B在直线同侧:
2、在直线m、n上分别找两点P、Q,使PA+PQ+QB最小。
(1)两个点都在直线外侧:
(2)一个点在内侧,一个点在外侧:
(3)两个点都在内侧:
(4)、台球两次碰壁模型
变式一:
已知点A、B位于直线m,n的内侧,在直线n、m变式二:
已知点A位于直线m,n的内侧,在直线
分别上求点D、E点,使得围成的四边形ADEB周长最短.m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.
二、一个动点,一个定点:
(一)动点在直线上运动:
点B在直线n上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)
1、两点在直线两侧:
2、两点在直线同侧:
(二)动点在圆上运动:
点B在⊙O上运动,在直线m上找一点P,使PA+PB最小(在图中画出点P和点B)
1、点与圆在直线两侧:
2、点与圆在直线同侧:
三、已知A、B是两个定点,P、Q是直线m上的两个动点,P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点,使得PA+PQ+QB的值最小。
(原理用平移知识解)
(2)点A、B在直线m同侧:
四、求两线段差的最大值问题(运用三角形两边之差小于第三边)
1、在一条直线m上,求一点P,使PA与PB的差最大;
(1)点A、B在直线m同侧:
(2)点A、B在直线m异侧:
Ⅱ.典型例题剖析
一.归入“两点之间的连线中,线段最短”
Ⅰ.“饮马”几何模型:
模型应用:
1.如图,正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点,P是AC上一动点.则PB+PE的最小值是.
2.如图,⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB,∠AOC=60°
,P是OB上一动点,则PA+PC的最小值是.
3.如图,在锐角△ABC中,AB=42,∠BAC=45°
,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
第1题第2题第3题第4题
4.如图,在直角梯形ABCD中,∠ABC=90°
,AD∥BC,AD=4,AB=5,BC=6,点P是AB上一个动点,当PC+PD的和最小时,PB的长为__________.
5.如图,等腰梯形ABCD中,AB=AD=CD=1,∠ABC=60°
,P是上底,下底中点EF直线上的一点,则PA+PB的最小值为
.
第5题第6题第7题
6.如图,MN是半径为1的⊙O的直径,点A在⊙O上,∠AMN=30°
,B为AN弧的中点,P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为
7.已知A(-2,3),B(3,1),P点在x轴上,若PA+PB长度最小,则最小值为
.若PA—PB长度最大,则最大值为
Ⅱ.台球两次碰壁模型
1.如图,∠AOB=45°
,P是∠AOB内一点,PO=10,Q、R分别是OA、OB上的动点,求△PQR周长的最小值.
2.如图,已知平面直角坐标系,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)
设M,N分别为x轴和y轴上的动点,请问:
是否存在这样的点M(m,0),N(0,n),使四边形ABMN的周长最短?
若存在,请求出m=______,n=______(不必写解答过程);
若不存在,请说明理由.
中考赏析:
1.著名的恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,AB=50km、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图
(1)是方案一的示意图(AP与直线X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB,图
(2)是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'
,连接BA'
交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.
(1)求S1、S2,并比较它们的大小;
(2)请你说明S2=PA+PB的值为最小;
(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
二.归入“三角形两边之差小于第三边”
1.直线2x-y-4=0上有一点P,它与两定点A(4,-1)、B(3,4)的距离之差最大,则P点的坐标是.
2.已知A、B两个村庄的坐标分别为(2,2),(7,4),一辆汽车(看成点P)在x轴上行驶.试确定下列情况下汽车(点P)的位置:
(1)求直线AB的解析式,且确定汽车行驶到什么点时到A、B两村距离之差最大?
(2)汽车行驶到什么点时,到A、B两村距离相等?
好题赏析:
原型:
已知:
P是边长为1的正方形ABCD内的一点,求PA+PB+PC的最小值.
例题:
如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意
一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM.
(1)求证:
△AMB≌△ENB;
(2)①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
(3)当AM+BM+CM的最小值为+1时,求正方形的边长.
变式:
如图四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°
得到BN,连接EN、AM、CM,则下列五个结论中正确的是( )
①若菱形ABCD的边长为1,则AM+CM的最小值1;
②△AMB≌△ENB;
③S四边形AMBE=S四边形ADCM;
④连接AN,则AN⊥BE;
⑤当AM+BM+CM的最小值为2时,菱形ABCD的边长为2.
A.①②③ B.②④⑤ C.①②⑤ D.②③⑤
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