第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9函数模型及其应用Word文档格式.doc

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x≤12时，f（x）＝24－2x，观察四个选项知，故选D.

[点石成金]　判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

（1）构建函数模型法：

当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

（2）验证法：

当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．

考点2　应用所给函数模型解决实际问题

[典题2]　某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的曲线．

（1）写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y＝f（t）；

（2）据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．

[解]　

（1）由题图，设y＝

当t＝1时，由y＝4，得k＝4，

由1－a＝4，得a＝3.

所以y＝

（2）由y≥0.25，得或

解得≤t≤5.

因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－＝（小时）．

[点石成金]　求解已给函数模型解决实际问题的关注点

（1）认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

（2）根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

（3）利用该模型求解实际问题．

[提醒]　解决实际问题时要注意自变量的取值范围.

里氏震级M的计算公式为M＝lgA－lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000.此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；

9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的________倍．

答案：

6'

10000　

解析：

根据题意，由lg1000－lg0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lgA9－lg0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．

考点3　构建函数模型解决实际问题

1.几类函数模型

函数模型

函数解析式

一次函

数模型

f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0）

反比例函

f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）

二次函

f（x）＝ax2＋bx＋c

（a，b，c为常数，a≠0）

指数函

f（x）＝bax＋c

（a，b，c为常数，b≠0，a>

0且a≠1）

对数函

f（x）＝blogax＋c

幂函数

模型

f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）

2．三种函数模型的性质

　　　函数

性质　　　

y＝ax（a>

1）

y＝logax（a>

y＝xn（n>

0）

在（0，＋∞）上

的增减性

单调______

单调递增

增长速度

越来越快

越来越慢

相对平稳

图象的变化

随x的增大逐渐表现为与________平行

随n值变化而各有不同

值的比较

存在一个x0，当x>

x0时，有logax<

xn<

ax

递增　递增　y轴　x轴　

求解实际问题的两个误区：

忽略自变量的取值范围；

忽略数学结果的实际合理性．

（1）据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是________．

y＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000，x∈N）　

y＝0.2x＋（4000－x）×

0.3＝－0.1x＋1200（0≤x≤4000，x∈N），这里不能忽略x的取值范围，否则函数解析式失去意义．

（2）要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水，假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面，则最少需安装喷水龙头________个．

4

可以将正方形分割成4个全等的正方形，每个小正方形的对角线长为8<

12，所以安装4个喷水龙头就可以满足题意．由于是实际问题，不可以这样理解：

每个喷水龙头可喷洒的面积为36π平方米，3个喷水龙头即可喷洒的面积为108π平方米，又108π>

162，最后得出安装3个就可以，这是错误的．

复利公式．

（1）某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和（本金加利息）为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．

y＝a（1＋r）x

（2）人口的增长、细胞分裂的个数以及存款利率（复利）的计算等问题都可以用________函数模型解决．

指数

[考情聚焦]　高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现，考查用函数知识解决以社会实际生活为背景的成本最低、利润最高、产量最大、效益最好、用料最省等实际问题．

主要有以下几个命题角度：

角度一

二次函数模型

[典题3]　为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：

y＝x2－200x＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品的价值为100元．则该单位每月能否获利？

如果获利，求出最大利润；

如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

[解]　设该单位每月获利为S，

则S＝100x－y＝100x－

＝－x2＋300x－80000＝－（x－300）2－35000，

因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40000.

故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

[点石成金]　二次函数模型问题的三个注意点

（1）二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；

（2）确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；

（3）解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．

角度二

构造分段函数模型

[典题4]　国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；

若每团人数多于30，则给予优惠：

每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15000元．

（1）写出飞机票的价格关于人数的函数；

（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解]　

（1）设旅行团人数为x，由题得0<

x≤75（x∈N*），飞机票价格为y元，

则y＝

即y＝

（2）设旅行社获利S元，

则S＝

即S＝

因为S＝900x－15000在区间（0,30]上为单调增函数，故当x＝30时，S取最大值12000元，

又S＝－10（x－60）2＋21000在区间（30,75]上，

当x＝60时，取得最大值21000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润．

[点石成金]　解决分段函数模型问题的三个注意点

（1）实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解；

（2）构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏；

（3）分段函数的最值是各段的最大（或最小）值的最大者（最小者）．

角度三

构建“对勾”函数f（x）＝x＋（a>

0）模型

[典题5]　为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：

万元）与隔热层厚度x（单位：

cm）满足关系C（x）＝（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

（1）求k的值及f（x）的表达式；

（2）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．

[解]　

（1）由已知条件得C（0）＝8，则k＝40，

因此f（x）＝6x＋20C（x）

＝6x＋（0≤x≤10）．

（2）f（x）＝6x＋10＋－10

≥2－10

＝70（万元），

当且仅当6x＋10＝，即x＝5时等号成立．

所以当隔热层厚度为5cm时，总费用f（x）达到最小值，最小值为70万元．

[点石成金]　应用函数模型y＝x＋的关键点

（1）明确对勾函数是正比例函数f（x）＝ax与反比例函数f（x）＝叠加而成的．

（2）解决实际问题时一般可以直接建立f（x）＝ax＋的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f（x）＝ax＋的形式．

（3）利用模型f（x）＝ax＋求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件．

角度四

构建指、对函数或复杂的分式结构函数模型

[典题6]　已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用PA＝lgnA来记录A菌个数的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：

①PA≥1；

②若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；

③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<

PA<

5.5（注：

lg2≈0.3）．

则正确的说法为________．（写出所有正确说法的序号）

[答案]　③

[解析]　当nA＝1时，PA＝0，故①错误；

若PA＝1，则nA＝10，若PA＝2，则nA＝100，故②错误；

B菌的个数为nB＝5×

104，

∴nA＝＝2×

105，∴PA＝lgnA＝lg2＋5.

又∵lg2≈0.3，∴5<

5.5，故③正确．

[点石成金]　一般地，涉及增长率问题、存蓄利息问题、细胞分裂问题等，都可以考虑用指数函数的模型求解．求解时注意指数式与对数式的互化，指数函数的值域的影响以及实际问题中的条件限制.

[方法技巧]　解函数应用问题的四步骤

（1）审题：

弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；

（2）建模