相似三角形典型综合题Word下载.doc

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（2）△APQ与△CQB能否相似？

若能，求出AP的长；

若不能说明理由．

5.如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；

点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6）。

（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？

（2）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

二、构造相似辅助线——双垂直模型

6.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°

，求这个正比例函数的表达式．

7.在△ABC中，AB=，AC=4，BC=2，以AB为边在C点的异侧作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．

8.在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°

，点M是AC上的一点，点N是BC上的一点，沿着直线MN折叠，使得点C恰好落在边AB上的P点．求证：

MC：

NC=AP：

PB．

9.如图，在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）

A.B.

C.D.

10..已知，如图，直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB为短边在第一象限做一个矩形ABCD，使得矩形的两边之比为1﹕2。

求C、D两点的坐标。

三、构造相似辅助线——A、X字型

11.如图：

△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，BC边上的中线AE交CD于F。

求证：

12.四边形ABCD中，AC为AB、AD的比例中项，且AC平分∠DAB。

13.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝b，CD＝a，E为AD边上的任意一点，EF∥AB，且EF交BC于点F，某同学在研究这一问题时，发现如下事实：

（1）当时，EF=；

（2）当时，EF=；

（3）当时，EF=．当时，参照上述研究结论，请你猜想用a、b和k表示EF的一般结论，并给出证明．

14.已知：

如图，在△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC。

求BN：

NQ：

QM．

15.证明：

（1）重心定理：

三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：

重心是三角形三条中线的交点）

（2）角平分线定理：

三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．

四、相似类定值问题

16.如图，在等边△ABC中，M、N分别是边AB，AC的中点，D为MN上任意一点，BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F．

．

17.已知：

如图，梯形ABCD中，AB//DC，对角线AC、BD交于O，过O作EF//AB分别交AD、BC于E、F。

18.如图，在△ABC中，已知CD为边AB上的高，正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。

19.已知，在△ABC中作内接菱形CDEF，设菱形的边长为a．求证：

五、相似之共线线段的比例问题

20.

（1）如图1，点在平行四边形ABCD的对角线BD上，一直线过点P分别交BA，BC的延长线于点Q，S，交于点．求证：

（2）如图2，图3，当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时，是否仍然成立？

若成立，试给出证明；

若不成立，试说明理由（要求仅以图2为例进行证明或说明）；

21.已知：

如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F．求证：

BP2＝PE·

PF．

22.如图，已知&

Delta;

ABC中，AD，BF分别为BC，AC边上的高，过D作AB的垂线交AB于E，交BF于G，交AC延长线于H。

DE2=EG•EH

23.已知如图，P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.

24.已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；

在AD上有一点P，且∠BPC为直角．求证：

PD2＝AD·

DH。

六、相似之等积式类型综合

25.已知如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F。

26如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.

（1）△AED∽△CBM；

（2）

27.如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°

，CD⊥AB于D，E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F.

（1）求证：

.

（2）若G是BC的中点，连接GD，GD与EF垂直吗？

并说明理由.

28.如图，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：

29.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H。

（1）DG2＝BG·

CG；

（2）BG·

CG＝GF·

GH

七、相似基本模型应用

30.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°

，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．

（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：

△BEM∽△CNE；

（2）如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除

（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．

31.如图，四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，点R为DE的中点，BR分别交AC、CD于点P、Q．

（1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）；

（2）求BP：

PQ：

QR．

32.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

答案：

1.答案：

解：

（1）∵∠ACB=90°

，AC=3，BC=4

∴AB=5

又∵AD=AB，AD=5t

∴t=1，此时CE=3，

∴DE=3+3-5=1

如图当点D在点E左侧，即：

0≦t≦时，DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG与△ACB相似，有两种情况：

①△DEG∽△ACB，此时，

即：

，求得：

t=；

②△DEG∽△BCA，此时，

如图，当点D在点E右侧，即：

t>

时，DE=5t-（3t+3）=2t-3．

③△DEG∽△ACB，此时，

④△DEG∽△BCA，此时，

t=．

综上，t的值为或或或．

3.答案：

（1）证明：

∵AD=CD

∴∠A=∠ACD

∵DE平分CDB交边BC于点E

∴∠CDE=∠BDE

∵∠CDB为△CDB的一个外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD

∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE

∴∠ACD=∠CDE

∴DE∥AC

（2）①∠NCE=∠MBE

∵EM⊥BD，EN⊥CD，

∴△BME∽△CNE，如图

∵∠NCE=∠MBE

∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°

∴∠ACD=∠A

∴AD=CD

∴AD=BD=AB

∵在Rt△ABC中，ACB＝90°

，AC＝6，BC＝8

∴AB=10

∴AD=5

②∠NCE=∠MEB

∴△BME∽△ENC，如图

∵∠NCE=∠MEB

∴EM∥CD

∴CD⊥AB

∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB

∴△ACD∽△ABC

∴

综上：

AD=5或时，△BME与△CNE相似．

4.答案：

解

（1）由题意：

AP=4x，CQ=3x，AQ=30-3x，

当PQ∥BC时，，即：

解得：

（2）能，AP=cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ，则，即

或（舍）

此时：

AP=cm

②△APQ∽△CQB，则，即

（符合题意）

故AP=cm或20cm时，△APQ与△CQB能相似．

5.答案：

设运动时间为t，则DQ=t，AQ=6-t，AP=2t，BP=12-2t．

（1）若△QAP为等腰直角三角形，则AQ=AP，即：

6-t=2t，t=2（符合题意）

∴t=2时，△QAP为等腰直角三角形．

（2）∠B=∠QAP=90°