特殊平行四边形拔高复习Word文件下载.doc
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两组对边分别平行;
四条边都相等;
相邻边互相垂直
(2)内角:
四个角都是90°
;
(3)对角线:
对角线互相垂直;
对角线相等且互相平分;
每条对角线平分一组对角;
(4)对称性:
既是中心对称图形,又是轴对称图形(有四条对称轴)。
(5)形状:
正方形也属于长方形的一种。
(6)正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
(1)对角线相等的菱形是正方形。
(2)有一个角为直角的菱形是正方形。
(3)对角线互相垂直的矩形是正方形。
(4)一组邻边相等的矩形是正方形。
(5)一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
(6)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
(7)对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
(8)一组邻边相等,有三个角是直角的四边形是正方形。
(9)既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
二专题整合与拔高
专题一特殊四边形的综合应用
1、(2013•白银)如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)BD与CD有什么数量关系,并说明理由;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
并说明理由.
考点:
矩形的判定;
全等三角形的判定与性质.
专题:
证明题.
分析:
(1)根据两直线平行,内错角相等求出∠AFE=∠DCE,然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等,根据全等三角形对应边相等可得AF=CD,再利用等量代换即可得证;
(2)先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形,再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°
,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC.
解答:
解:
(1)BD=CD.
理由如下:
∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,
∵E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△AEF和△DEC中,,
∴△AEF≌△DEC(AAS),
∴AF=CD,
∵AF=BD,
∴BD=CD;
(2)当△ABC满足:
AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
∵AF∥BD,AF=BD,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∵AB=AC,BD=CD,
∴∠ADB=90°
,
∴▱AFBD是矩形.
点评:
本题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,平行四边形的判定,是基础题,明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.
2、(13年山东青岛、21)已知:
如图,在矩形ABCD中,M、N分别是边AD、BC的中点,E、F分别是线段BM、CM的中点
(1)求证:
△ABM≌△DCM
(2)判断四边形MENF是什么特殊四边形,并证明你的结论;
(3)当AD:
AB=____________时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明)
解析:
(1)因为四边形ABCD是矩形,所以,∠A=∠D=90°
,AB=DC,又MA=MD,
所以,△ABM≌△DCM
(2)四边形MENF是菱形;
理由:
因为CE=EM,CN=NB,
所以,FN∥MB,同理可得:
EN∥MC,
所以,四边形MENF为平行四边形,
又△ABM≌△DCM
(3)2:
1
3.(2012珠海,18,7分)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°
得到正方形A’B’CD’(此时,点B’落在对角线AC上,点A’落在CD的延长线上),A’B’交AD于点E,连结AA’、CE.
求证:
(1)△ADA’≌△CDE;
(2)直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【解析】
(1)由题设可得AD=DC,∠ADA′=∠CDE=90°
DA′=DE.
∴△ADA′≌△CDE.
(2)证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直平分线.
【答案】
(1)由正方形的性质及旋转,得AD=DC,∠ADC=90°
AC=A′C,∠DA′E=45°
∠ADA′=∠CDE=90°
∴∠DEA′=∠DA′E=45°
.∴DA′=DE.
(2)由正方形的性质及旋转,得CD=CB′,∠CB′E=∠CDE=90°
CE=CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC=A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”,线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.
专题二构造特殊四边形解决问题
1.如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点O,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为 7 .
正方形的性质;
全等三角形的判定与性质;
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计算题;
压轴题.
过O作OF垂直于BC,再过A作AM垂直于OF,由四边形ABDE为正方形,得到OA=OB,∠AOB为直角,可得出两个角互余,再由AM垂直于MO,得到△AOM为直角三角形,其两个锐角互余,利用同角的余角相等可得出一对角相等,再由一对直角相等,OA=OB,利用AAS可得出△AOM与△BOF全等,由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF,OM=FB,由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形,根据矩形的对边相等可得出AC=MF,AM=CF,等量代换可得出CF=OF,即△COF为等腰直角三角形,由斜边OC的长,利用勾股定理求出OF与CF的长,根据OF﹣MF求出OM的长,即为FB的长,由CF+FB即可求出BC的长.
解法一:
如图1所示,过O作OF⊥BC,过A作AM⊥OF,
∵四边形ABDE为正方形,
∴∠AOB=90°
,OA=OB,
∴∠AOM+∠BOF=90°
又∠AMO=90°
,∴∠AOM+∠OAM=90°
∴∠BOF=∠OAM,
在△AOM和△BOF中,
∴△AOM≌△BOF(AAS),
∴AM=OF,OM=FB,
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°
∴四边形ACFM为矩形,
∴AM=CF,AC=MF=5,
∴OF=CF,
∴△OCF为等腰直角三角形,
∵OC=6,
∴根据勾股定理得:
CF2+OF2=OC2,
解得:
CF=OF=6,
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1,
则BC=CF+BF=6+1=7.
故答案为:
7.
解法二:
如图2所示,
过点O作OM⊥CA,交CA的延长线于点M;
过点O作ON⊥BC于点N.
易证△OMA≌△ONB,∴OM=ON,MA=NB.
∴O点在∠ACB的平分线上,
∴△OCM为等腰直角三角形.
∴CM=ON=6.
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1,
∴BC=CN+NB=6+1=7.
2、(2013聊城)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°
,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:
AE=CE.
矩形的判定与性质.
过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证,
证明:
如图,过点B作BF⊥CE于F,
∵CE⊥AD,
∴∠D+∠DCE=90°
∵∠BCD=90°
∴∠BCF+∠DCE=90°
∴∠BCF=∠D,
在△BCF和△CDE中,,
∴△BCF≌△CDE(AAS),
∴BF=CE,
又∵∠A=90°
,CE⊥AD,BF⊥CE,
∴四边形AEFB是矩形,
∴AE=BF,
∴AE=CE.
本题考查了全等三角形的判定与性质,矩形的判定与性质,难度中等,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键.
专题三特殊四边形中的动态与变换
1、(2013•内江)已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边BC、CD的中点,P是对角线BD上一点,则PM+PN的最小值= 5 .
轴对称-最短路线问题;
菱形的性质.
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,求出OC、OB,根据勾股定理求出BC长,证出MP+NP=QN=BC,即可得出答案.
作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∠QBP=∠MBP,
即Q在AB上,
∵MQ⊥BD,
∴AC∥MQ,
∵M为BC中点,
∴Q为AB中点,
∵N为CD中点,四边形ABCD是菱形,
∴BQ∥CD,BQ=CN,
∴四边形BQNC是平行四边形,
∴NQ=BC,
∴CO=AC=3,BO=BD=4,
在Rt△BOC中,由勾股定理得:
BC=5,
即NQ=5,
∴MP+NP=QP+NP=QN=5,
5.
本题考查了轴对称﹣最短路线问题,平行四边形的性质和判定,菱形的性质,勾股定理的应用,解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置.
2.(2014•襄阳,第12题3分)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE=AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:
①EF=2BE;
②PF=2PE;
③FQ=4EQ;
④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A.
①②
B.
②③
C.
①③
D.
①④
翻折变换(折叠问题);
矩形的性质
求出BE=2AE,根据翻折的性质可得PE=BE,再根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°
,然后求出∠AEP=60°
,再根据翻折的性质求出∠BEF=60°
,根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°
,然后根据直角三角形30°
角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE,判断出①正确;
利用30°
角的正切值求出PF=PE,判断出②错误;
求出BE=2EQ,EF=2BE,然后求出FQ=3EQ,判断出③错误;
求出∠PBF=∠PFB=60°
,然后得到△PBF是等边三角形,判断出④正确.
∵AE=AB,
∴BE=2AE,
由翻折的性质得,PE=BE,
∴∠APE=30°
∴∠A