圆中的最值问题文档格式.doc
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题4图题5图
【典题讲练】
类型1(相关题:
题5)
1.1如图,边长为a的等边△ABC的顶点A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动,则动点C到原点O的距离的最大值是_________.
1.2在直角坐标系中,△ABC满足,∠C=90°
,AC=8,BC=6,点A,B分别在x轴、y轴上,当A点从原点开始在正x轴上运动时,点B随着在正y轴上运动(下图),求原点O到点C的距离OC的最大值,并确定此时图形应满足什么条件.
1.3如图,在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°
,AC=BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上,当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时,点C在y轴正半轴上运动.
(1)当A在原点时,求点B的坐标;
(2)当OA=OC时,求原点O到点B的距离OB;
(3)在运动的过程中,求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由.
1.4边长为2的等边△ABC的顶点A在x轴的正半轴上移动,顶点B在射线OD上移动,∠AOD=45°
,则顶点C到原点O的最大距离为_________.
1.5如图,⊙O的直径为4,C为⊙O上一个定点,∠ABC=30°
,动点P从A点出发沿半圆弧向B点运动(点P与点C在直径AB的异侧),当P点到达B点时运动停止,在运动过程中,过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点.
(1)在点P的运动过程中,线段CD长度的取值范围为_________;
(2)在点P的运动过程中,线段AD长度的最大值为_________.
1.6如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP
⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,则PM长度的最大值是_________.
1.7如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,AC=4,BC=3,点D是平面内的一个动点,且AD=2,M为BD的中点,在D点运动过程中,线段CM长度的取值范围是_________.
类型2(相关题:
题4)
2.1如图,已知AB是⊙O的弦,C是⊙O上的一个动点,连接AC、BC,∠C=60°
,⊙O的半径为2,则△ABC面积的最大值是_________.
2.2如图,已知直线MN经过⊙O上的点A,点B在MN上,连OB交⊙O于C点,且点C是OB的中点,AC=OB,若点P是⊙O上的一个动点,当AB=时,△APC的面积的最大值为_________.
2.3如图,半圆O的半径为1,AC⊥AB,BD⊥AB,且AC=1,BD=3,P是半圆上任意一点,则封闭图形ABDPC面积的最大值是_________.
2.4已知Rt△ABC中,斜边AB=5,则斜边上的高的最大值为_________.
2.5如图,若Rt△ABC的斜边AB=2,内切圆的半径为r,则r的最大值为_________.
2.6如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CB,CA分别相交于点E,F,则线段EF长度的最小值是_________.
2.7如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB经过点A(﹣4,0)、B(0,4),⊙O的半径为1(O为坐标原点),点P在直线AB上,过点P作⊙O的一条切线PQ,Q为切点,则切线长PQ的最小值为_________.
2.8如图所示,在直角坐标系中,A点坐标为(﹣3,﹣2),⊙A的半径为1,P为x轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,则当PQ最小时,P点的坐标为_________.
类型3(相关题:
题3)
3.1如图,△ABC中,∠BAC=60°
,∠ABC=45°
,AB=2,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画⊙O分别交AB,AC于E,F,连接EF.
(1)探究线段EF长度为最小值时,点D的位置,请画出图形;
(2)求出该最小值.
3.2如图,在△ABC中,已知AB=5,BC=8,AC=7,动点P、Q分别在边AB、AC上,使△APQ的外接圆与BC相切,则线段PQ的最小值等于_________.
类型4(相关题:
题2)
4.1如图,点C在以AB为直径的⊙O上,CD⊥AB于P,设AP=a,PB=b.
(1)求弦CD的长;
(2)如果a+b=10,求ab的最大值,并求出此时a,b的值.(参考2.4、2.5)
4.2如图,半径为2的⊙O有两条互相垂直的弦AB和CD,其交点E到圆心O的距离为1,则AB2+CD2=_________.
4.3如图,⊙O的半径为2,点P是⊙O内一点,且OP=,过P作互相垂直的两条弦AC、BD,则四边形ABCD面积的最大值为_________.
4.4如图,以O为圆心,1为半径的圆内有一定点A,过A引互相垂直的弦PQ,RS.求PQ+RS取值范围.
4.5如图,线段AB=4,C为线段AB上的一个动点,以AC、BC为边作等边△ACD和等边△BCE,⊙O外接于△CDE,则⊙O半径的最小值为.
4.6在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与轴相交于点A,与轴相交于点B,线段AB长度的最小值是.
类型5(相关题:
题1)
5.1如图,已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)、(0,1),⊙C的圆心坐标为(0,-1),半径为1,D是⊙C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则△ABE面积的最大值是_________.
5.2如图,Rt△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,AB=4,以AC上的一点O为圆心OA为半径作⊙O,若⊙O与边BC始终有交点(包括B、C两点),则线段AO的取值范围是.
5.3如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=6,BC=8,D为AB边上一点,过点D作CD的垂线交直线BC于点E,则线段CE长度的最小值是.
5.4在坐标系中,点A的坐标为(3,0),点B是y轴右侧一点,且AB=2,点C上直线y=x+1上一动点,且CB⊥AB于点B,则,则的取值范围是.
5.5如图,A点的坐标为(-2,1),以A为圆心的⊙A切x轴于点B,P为⊙A上的一个动点,请分别探索:
①的最大值;
②的最小值;
③的最大值;
④的最大值;
【拓展延伸】:
①的范围;
②的范围;
类型6
6.1如图,CD是⊙O的直径,点A是半圆上的三等分点,B是弧AD的中点,P点为直线CD上的一个动点,当CD=4时,
求:
(1)AP+BP的最小值.
(2)AP﹣BP的最大值.
6.2如图,已知圆O的面积为3π,AB为直径,弧AC的度数为80°
,弧BD的度数为20°
,点P为直径AB上任一点,则PC+PD的最小值为_________.
6.3如图,AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦,AB=8,CD=6,MN是直径,AB⊥MN于点E,CD⊥MN于点F,P为EF上的任意一点,则PA+PC的最小值为_________.
6.4如图,AB是⊙O的直径,弦BC=2cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°
.若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着A→B方向运动,设运动时间为t(s),连接EF、CE,当t为_________秒时,CE+EF最小,其最小值是_________.
6.5四边形ABCD内接于圆,已知∠ADC=90°
,CD=4,AC=8,AB=BC.设O是AC的中点.
(1)设P是AB上的动点,求OP+PC的最小值;
(2)设Q,R分别是AB,AD上的动点,求△CQR的周长的最小值.
补充练习(与例题类型不完全对应)
1.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C,若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,则⊙O的半径r的取值范围为_________.
2.已知:
如图,RtΔABC中,∠B=90º
,∠A=30º
,BC=6cm,点O从A点出发,沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动,当点O运动了t秒(t>0)时,以O点为圆心的圆与边AC相切于点D,与边AB相交于E、F两点,过E作EG⊥DE交射线BC于G.
(1)若点G在线段BC上,则t的取值范围是_________.
(2)若点G在线段BC的延长线上,则t的取值范围是_________.
3.如图,⊙M,⊙N的半径分别为2cm,4cm,圆心距MN=10cm.P为⊙M上的任意一点,Q为⊙N上的任意一点,直线PQ与连心线所夹的锐角度数为,当P、Q在两圆上任意运动时,的最大值为_________.
4.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,O为矩形ABCD的中心,以D为圆心1为半径作⊙D,P为⊙D上的一个动点,连接AP、OP,则△AOP面积的最大值为_________.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=8,BC=6,经过点C且与边AB相切的动圆与CA、CB分别相交于点P、Q,则线段PQ长度的最小值是_________.
6.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°
,AC=BC=4,D是AB的中点,点E在AB边上运动(点E不与点A重合),过A、D、E三点作⊙O,⊙O交AC于另