初三《圆》知识点及定理Word格式文档下载.doc

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1、点在圆内点在圆内；

2、点在圆上点在圆上；

3、点在圆外点在圆外；

三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离无交点；

2、直线与圆相切有一个交点；

3、直线与圆相交有两个交点；

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）无交点；

外切（图2）有一个交点；

相交（图3）有两个交点；

内切（图4）有一个交点；

内含（图5）无交点；

五、垂径定理

垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：

（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：

此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①是直径②③④弧弧⑤弧弧

中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：

圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：

在⊙中，∵∥

∴弧弧

六、圆心角定理

圆心角定理：

同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，

即：

①；

②；

③；

④弧弧

七、圆周角定理

1、圆周角定理：

同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

∵和是弧所对的圆心角和圆周角

∴

2、圆周角定理的推论：

同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；

在⊙中，∵、都是所对的圆周角

∴

半圆或直径所对的圆周角是直角；

圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。

在⊙中，∵是直径或∵

∴∴是直径

推论3：

若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

在△中，∵

∴△是直角三角形或

注：

此推论实是初二年级几何中矩形的推论：

在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

八、圆内接四边形

圆的内接四边形定理：

圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：

在⊙中，

∵四边形是内接四边形

∴

九、切线的性质与判定定理

（1）切线的判定定理：

过半径外端且垂直于半径的直线是切线；

两个条件：

过半径外端且垂直半径，二者缺一不可

即：

∵且过半径外端

∴是⊙的切线

（2）性质定理：

切线垂直于过切点的半径（如上图）

推论1：

过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2：

过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：

①过圆心；

②过切点；

③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

十、切线长定理

切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

∵、是的两条切线

∴

平分

十一、圆幂定理

（1）相交弦定理：

圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。

在⊙中，∵弦、相交于点，

∴

（2）推论：

如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。

在⊙中，∵直径，

（3）切割线定理：

从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

在⊙中，∵是切线，是割线

∴

（4）割线定理：

从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。

在⊙中，∵、是割线

十二、两圆公共弦定理

圆公共弦定理：

两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。

如图：

垂直平分。

∵⊙、⊙相交于、两点

∴垂直平分

十三、圆的公切线

两圆公切线长的计算公式：

（1）公切线长：

中，；

（2）外公切线长：

是半径之差；

内公切线长：

是半径之和。

十四、圆内正多边形的计算

（1）正三角形

在⊙中△是正三角形，有关计算在中进行：

；

（2）正四边形

同理，四边形的有关计算在中进行，：

（3）正六边形

同理，六边形的有关计算在中进行，.

十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式

1、扇形：

（1）弧长公式：

（2）扇形面积公式：

：

圆心角：

扇形多对应的圆的半径：

扇形弧长：

扇形面积

2、圆柱：

（1）圆柱侧面展开图

=

（2）圆柱的体积：

（2）圆锥侧面展开图

（1）=

（2）圆锥的体积：

十六、圆中常见的辅助线

1）．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．

2）．作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明．

3）．作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算．

4）．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．

5）．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．

6）．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．

7）．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．

8）．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：

（1）若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；

（2）不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．

9）．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．

10）．遇到三角形的内心，常作：

（1）内心到三边的垂线；

（2）连结内心和三角形的顶点．

11）．遇相交两圆，常作：

（1）公共弦；

（2）连心线．

12）．遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线．

13）．求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边．

十七、圆中较特殊的辅助线

1）．过圆外一点或圆上一点作圆的切线．

2）．将割线、相交弦补充完整．

3）．作辅助圆．

例1如图23-11，CA为⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，如果∠CAB＝55°

，那么∠AOB等于（）

A．35°

B．90°

C．110°

D．120°

例2如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于（）

A．B．C． D．

例3如图23-12，在半径为4的⊙O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交⊙O于E，且EM>

MC，连结OE、DE，．

求：

EM的长．

例4如图23-13，AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，PA交⊙O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程（其中m为实数）的两根．

（1）求证：

BE＝BD；

（2）若，求∠A的度数．

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