八年级下册四边形提高练习(含答案)Word下载.doc

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由AD∥BC，可得AF=DE．

又因为S△ABC=×

BC×

AF，S△BCD=BC×

DE

所以S△ABC=S△BCD

由此我们可以得到以下的结论：

像图1这样，　　　　　　．

（2）结论证明：

如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段），如，平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线段．

①如图2，梯形ABCD中AB∥DC，连接AC，过点B作BE∥AC，交DC延长线于点E，连接点A和DE的中点P，则AP即为梯形ABCD的面积等分线段，请你写出这个结论成立的理由：

②如图3，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否做出四边形ABCD的面积等分线（段）？

若能，请画出面积等分线（用钢笔或圆珠笔画图，不用写作法），不要证明

3、如图，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°

，∠B=60°

，AB=cm，AD=8cm，直线EF从点A出发沿AD方向匀速运动，速度是2cm/s，运动过程中始终保持EF∥AC，EF交AD于E，交DC于点F；

同时，点P从点C出发沿CB方向匀速运动，速度是1cm/s，连接PE、PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．

（1）当EP⊥BC时，求t的值是多少？

（2）设△PEF的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使面积y最大？

若存在，求出y的最大值；

若不存在，说明理由．

（4）连接AP，是否存在某一时刻t，使点E恰好在AP的垂直平分线上？

若存在，求出此时t的值；

4、一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；

在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；

…；

若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．

（1）判断与操作：

如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？

如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；

如果不是，请说明理由．

（2）探究与计算：

已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形ABCD及裁剪线的示意图，并在图的下方写出a的值．

（3）归纳与拓展：

已知矩形ABCD两邻边的长分别为b，c（b＜c），且它是4阶奇异矩形，求b：

c（直接写出结果）．

5、已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点分别在正方形边上，，连接．

（1）当时，求的面积；

（2）设，用含的代数式表示的面积；

（3）判断的面积能否等于，并说明理由．

二、计算题

6、如图1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．

（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；

（2）如图2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；

当取何值时，有最大值？

最大值是多少？

（3）在

（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．

7、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C＝．

（1）求B′点的坐标；

（2）求折痕CE所在直线的解析式．

参考答案

1、【考点】四边形综合题．

【分析】

（1）①证明△BAD≌△CAF，可得：

BD=CF，∠B=∠ACF=45°

，则∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

，所以BD与CF相等且垂直；

②①的结论仍成立，同理证明△DAB≌△FAC，可得结论：

垂直且相等；

（2）当∠ACB满足45°

时，CF⊥BC；

如图4，作辅助线，证明△QAD≌△CAF，即可得出结论．

【解答】解：

（1）①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：

如图2，∵四边形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°

∴∠DAC+∠CAF=90°

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠BAD+∠DAC=90°

，且∠B=∠ACB=45°

∴∠CAF=∠BAD，

∴△BAD≌△CAF，

∴BD=CF，∠B=∠ACF=45°

∴∠ACB+∠ACF=45°

+45°

=90°

即∠BCF=90°

∴BC⊥CF，

即BD⊥CF；

故答案为：

垂直，相等；

②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：

如图3，由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°

∵∠BAC=90°

∴∠DAF=∠BAC，

∴∠DAB=∠FAC，

又∵AB=AC，

∴△DAB≌△FAC，

∴CF=BD，

∠ACF=∠ABD，

，AB=AC，

∴∠ABC=45°

∴∠ACF=∠ABC=45°

∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD；

（2）当∠BCA=45°

时，CF⊥BD，理由是：

如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，

∵∠BCA=45°

∴∠AQC=45°

∴∠AQC=∠BCA，

∴AC=AQ，

∵AD=AF，∠QAC=∠DAF=90°

∴∠QAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，

∴∠QAD=∠CAF，

∴△QAD≌△CAF，

∴∠ACF=∠AQD=45°

∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°

即CF⊥BD．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形、等腰直角三角形、全等三角形的性质和判定，本题的三个结论都是证明三角形全等得出，所以利用SAS证明三角形全等是本题的关键；

第

（2）问，恰当地作辅助线，构建等腰直角三角形，同样也是构建两个三角形全等得出结论．

2、【考点】四边形综合题．

（1）根据两三角形的特殊性同底等高得出结论；

（2）①根据等底等高可得S△ABC=S△AEC，即可证明S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；

②连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE，证明可仿照①进行．

【解答】解；

（1）利用图形直接得出：

同底等高的两三角形面积相等；

（2）①连接AE，因为AB∥CE，BE∥AC，所以四边形ABEC为平行四边形，

所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，

所以有S△ABC=S△AEC，

所以S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．

②能，连接AC，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．

因为BE∥AC，所以△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，所以有S△ABC=S△AEC，

所以S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．

因为S△ACD＞S△ABC，

所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线，作图如下：

【点评】本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．

3、【考点】四边形综合题．

（1）当EP⊥BC时，DE=PC，得出8﹣2t=t，即可求出t；

（2）作AG⊥BC于G，先求出CD=AG=6，再由△DEF∽△DAC，得出比例式得出DF，CF，用梯形DEPC的面积减去△DEF和△CPF的面积即为△PEF的面积；

（3）由

（2）得y是t的二次函数，二次项系数＜0，故有最大值，配方得顶点式，即可得出最大值；

（4）由点E在AP的垂直平分线上，得出AE=EP，根据勾股定理得出方程，解方程即可．

（1）根据题意得：

AE=2t，PC=t，

∴DE=8﹣2t，

当EP⊥BC时，DE=PC，

∴8﹣2t=t，

解得：

t=；

（2）作AG⊥BC于G，如图所示：

则四边形AGCD是矩形，∠AGB=90°

∴CD=AE，AG=AB•sin60°

=4•=6，

∴CD=6，

∵EF∥AC，

∴△DEF∽△DAC，

∴，即，

∴DF=6﹣t，

∴CF=t，

∵S梯形DEPC=（8﹣2t+t）×

6=24﹣3t，

S△DEF=（8﹣2t）（6﹣t）=﹣12t+24，

S△CPF=t•t=，

∴y=S梯形DEPC﹣S△DEF﹣S△CPF

=24﹣3t﹣（﹣12t+24）﹣

=﹣t2+9t，

即y=﹣t2+9t；

（3）存在；

∵y=﹣t2+9t=﹣（t﹣2）2+9，﹣＜0，

∴y有最大值，当t=2时，y的值最大，最大值=9；

（4）存在；

作PH⊥AD于H，如图所示：

则DH=PC=t，PH=6，

∴EH=8﹣2t﹣t=8﹣3t，

∴EP2=（8﹣3t）2+62，

又∵点E在AP的垂直平分线上，

∴AE=EP，

∴（2t）2=（8﹣3t）2+62，

t=，或t=（舍去），

∴t=时，点E恰好在AP的垂直平分线上．

【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定方法、相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、二次函数的知识以及图形面积的计算；

本题难度较大，综合性强，特别是

（2）中，通过作辅助线求出线段长度，并运用三角形相似才能求出面积．

4、 

考点：

四边形综合题． 

专题：

压轴题．

分析：

（1）根据已知操作步骤画出即可；

（2）根据已知得出符合条件的有4种情况，画出图形即可；

（3）根据题意得出第1次操作前短边与长边之比为：

，；

，，最终得出长边和短边的比是1：

2，即可进行操作后得出正方形．

解答：

解：

（1）矩形ABCD是3阶奇异矩形，裁剪线的示意图如下：

（2）裁剪线的示意图如下：

（3）b：

c的值为，，，，，，，，

规律如下：

第4次操作前短边与长边之比为：

；

第3次操作前短边与长边之比为：

第2次操作前短边与长边之比为：

第1次操作前短边与长边之比为：

，．

5、解：

（1）正方形中，，．

又，因此，即菱形的边长为．

在和中，，

，，

．．

，即菱形是正方形．

同理可以证明．