4、费马点、利用旋转变换求线段和最值T文档格式.docx
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O
-4
y
6
B
C
D
14年1月石景山期末
6.已知点和点在抛物线上.
(1)求的值及点的坐标;
(2)点在轴上,且满足△是以为直角边的直角三角形,求点的坐标;
(3)平移抛物线,记平移后点A的对应点为,点B的对应点为.点M(2,0)在x轴上,当抛物线向右平移到某个位置时,最短,求此时抛物线的函数解析式.
练习
1、(达州)15、如图6,在边长为2㎝的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,
点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为____________㎝(结果不取近似值).
2.如图所示,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为()A.B.C.3D.
3、滨州市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,-4)、O(0,0)、B(2,0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
4、山西省中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:
随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?
若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;
若不存在,请说明理由;
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.图1
满分解答
5.(年山东聊城)已知△ABC中,边BC的长与BC边上的高的和为20.
(1)写出△ABC的面积y与BC的长x之间的函数关系式,并求出面积为48时BC的长;
(2)当BC多长时,△ABC的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当△ABC面积最大时,是否存在其周长最小的情形?
如果存在,请说出理由,并求出其最小周长;
如果不存在,请给予说明.
6.(江苏苏州)如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上,顶点B的坐标为(3,),点C的坐标为(,0),点P为斜边OB上的一动点,则PA+PC的最小值为【 】
A. B.C. D.2
7.(已知点D与点A(8,0),B(0,6),C(a,-a)是一平行四边形的四个顶点,则CD长的最小值为.
8.如图,在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 .
9.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°
所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:
△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:
在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?
若存在,求出这个最小值;
一、费马点、利用旋转变换求线段和最值
费马点
编辑本段费马点定义
在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°
的三角形,分别以AB,BC,CA,为边,向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
(1)等边三角形中BP=PC=PA,BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。
是内切圆和外切圆的中心。
△BPC≌△CPA≌△PBA。
(2)当BC=BA但CA≠AB时,BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。
编辑本段证明
(1)费马点对边的张角为120度。
△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度,得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度,∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合,连结PD,则△PDB为等边三角形,所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度,因此A、P、D三点在同一直线上,
又∠CPB=∠A1DB=120度,∠PDB=60度,∠PDA1=180度,所以A、P、D、A1四点在同一直线上,故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M(不与点P重合),连结AM、BM、CM,将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合,连结AM、GM、A1G(同上),则AA1<
A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边型费马点
平面四边型中费马点证明相对于三角型中较为简易,也较容易研究。
(1)在凸四边型ABCD中,费马点为两对角线AC、BD交点P。
(2)在凹四边型ABCD中,费马点为凹顶点D(P)。
7(自编)
已知O点坐标为(0,0),A点坐标为(8,0),B点坐标为(0,8),在平面直角坐标系上确定点P,使OP+AP+BP最小。
并求出点P坐标和OP+AP+BP的最小值。
8.(自编)
已知O点坐标为(0,0),A点坐标为(5,0),B点坐标为(,),在平面直角坐标系上确定点P,使OP+AP+BP最小。
9、若P为所在平面上一点,且,则点叫做的费马点.
(1)若点为锐角的费马点,且,则的值为________;
(2)如图,在锐角外侧作等边′连结′.
求证:
′过的费马点,且′=.
25.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴的正半轴上,,为△的中线,过、两点的抛物线与轴相交于、两点(在的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△的顶点、在线段上,求及的长;
(3)点为△内的一个动点,设,请直接写出的最小值,以及取得最小值时,线段的长.
(备用图)
13通州
24.已知:
,,以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.
(1)如图,当∠ADB=60°
时,求AB及CD的长;
(2)当∠ADB变化,且其它条件不变时,求CD的最大值,及相应∠ADB的大小.
D B
1房山28.如图1,已知线段BC=2,点B关于直线AC的对称点是点D,点E为射线CA上一点,且ED=BD,连接DE,BE.
(1)依题意补全图1,并证明:
△BDE为等边三角形;
(2)若∠ACB=45°
,点C关于直线BD的对称点为点F,连接FD、FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度(0°
<α<360°
)得到△,点E的对应点为E′,点C的对应点为点C′.
①如图2,当α=30°
时,连接.证明:
=;
②如图3,点M为DC中点,点P为线段上的任意一点,试探究:
在此旋转过程中,线段PM长度的取值范围?
图1
图2
图3
2顺义28.如图,△ABC中,AB=AC,点P是三角形右外一点,且∠APB=∠ABC.
(1)如图1,若∠BAC=60°
,点P恰巧在∠ABC的平分线上,PA=2,求PB的长;
(2)如图2,若∠BAC=60°
,探究PA,PB,PC的数量关系,并证明;
(3)如图3,若∠BAC=120°
,请直接写出PA,PB,PC的数量关系.
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