二次函数动点问题解答方法技巧分析Word文档下载推荐.doc
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09
动点个数
两个
一个
问题背景
特殊菱形两边上移动
特殊直角梯形三边上移动
抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点
探究相似三角形
探究三角形面积函数关系式
探究等腰三角形
考
点
①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表示
③动三角形面积函数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定值
④探究等腰三角形存在性
特
①菱形是含60°
的特殊菱形；
△AOB是底角为30°
的等腰三角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；
先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式求出a、t的值。
①观察图形构造特征适当割补表示面积
②动点按到拐点时间分段分类
③画出矩形必备条件的图形探究其存在性
①直角梯形是特殊的（一底角是45°
）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交点D、E是定点；
动线段PF长度是定值，PF=OA）
⑤探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）
共同点：
①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）；
④求直线、抛物线解析式；
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线与坐标轴的交点依次是，，．
（1）求抛物线关于原点对称的抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为，抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），顶点为，四边形的面积为．若点，点同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；
与此同时，点，点同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点与点重合为止．求出四边形的面积与运动时间之间的关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当为何值时，四边形的面积有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形能否形成矩形？
若能，求出此时的值；
若不能，请说明理由．
[解]
（1）点，点，点关于原点的对称点分别为，，．
设抛物线的解析式是
，
则解得
所以所求抛物线的解析式是．
（2）由
（1）可计算得点．
过点作，垂足为．
当运动到时刻时，，．
根据中心对称的性质，所以四边形是平行四边形．
所以．
所以，四边形的面积．
因为运动至点与点重合为止，据题意可知．
所以，所求关系式是，的取值范围是．
（3），（）．所以时，有最大值．
提示：
也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形能形成矩形．
由
（2）知四边形是平行四边形，对角线是，所以当时四边形是矩形．
所以．所以．
所以．解之得（舍）．
所以在运动过程中四边形可以形成矩形，此时．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2.（06福建龙岩卷）如图，已知抛物线与坐标轴交于三点，点的横坐标为，过点的直线与轴交于点，点是线段上的一个动点，于点．若，且．
（1）确定的值：
；
（2）写出点的坐标（其中用含的式子表示）：
（3）依点的变化，是否存在的值，使为等腰三角形？
若存在，求出所有的值；
若不存在，说明理由．
[解]
（1）
（2）
（3）存在的值，有以下三种情况
①当时
，则
②当时，得
③当时，如图解法一：
过作，又
则又
解法二：
作斜边中线
则，此时
解法三：
在中有
（舍去）
又当或或时，为等腰三角形．
解法四：
数学往往有两个思考方向：
代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。
代数讨论：
计算出△PQB三边长度，均用t表示，再讨论分析Rt△PHQ中用勾股定理计算PQ长度，而PB、BQ长度都可以直接直接用t表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t值与题目中的矛盾，应舍去
3.如图1，已知直线与抛物线交于两点．
（1）求两点的坐标；
（2）求线段的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？
如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；
如果不存在，请简要说明理由．
P
A
图2
图1
[解]
（1）解：
依题意得解之得
（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）
D
M
C
B
第26题
Ｅ
由
（1）可知：
过作轴，为垂足
由，得：
同理：
设的解析式为
的垂直平分线的解析式为：
．
（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．
H
G
抛物线与直线只有一个交点，
，
在直线中，
设到的距离为，
到的距离等于到的距离．
另解：
过P做PC∥y轴，PC交AB于C，当PC最大时△PBA在AB边上的高h最大（h与PC夹角固定），则S△PBA最大→问题转化为求PC最大值，设P（x,）,C（x,）,从而可以表示PC长度，进行极值求取。
最后，以PC为底边，分别计算S△PBC和S△PAC即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形的顶点的坐标分别为，顶点在第一象限．点从点出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动．当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求正方形的边长．
（2）当点在边上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求两点的运动速度．
（3）求
（2）中面积（平方单位）与时间（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）若点保持
（2）中的速度不变，则点沿着边运动时，的大小随着时间的增大而增大；
沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使的点有 个．
（抛物线的顶点坐标是．
图②
图①
[解]
（1）作轴于．
（2）由图②可知，点从点运动到点用了10秒．
又．
两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：
作轴于，则．
，即．
．
即．
，且，
当时，有最大值．
此时，
点的坐标为． （8分）
方法二：
当时，．
设所求函数关系式为．
抛物线过点，
点的坐标为．
（4）．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
5.如图①，中，，．它的顶点的坐标为，顶点的坐标为，，点从点出发，沿的方向匀速运动，同时点从点出发，沿轴正方向以相同速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动的时间为秒．
（1）求的度数．
（2）当点在上运动时，的面积（平方单位）与时间（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点的运动速度．
（3）求
（2）中面积与时间之间的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）如果点保持
（2）中的速度不变，那么点沿边运动时，的大小随着时间的增大而增大；
沿着边运动时，的大小随着时间的增大而减小，当点沿这两边运动时，使的点有几个？
请说明理由．
（第29题图①）
Q
O
x
y
30
10
5
t
S
（第29题图②）
解:
（1）．
（2）点的运动速度为2个单位/秒．
（3）（）
当时，有最大值为，
此时．
（4）当点沿这两边运动时，的点有2个．
①当点与点重合时，，
当点运动到与点重合时，的长是12单位长度，
作交轴于点，作轴于点，
由得：
所以，从而．
第29题图①
所以当点在边上运动时，的点有1个．
②同理当点在边上运动时，可算得．
而构成直角时交轴于，，
所以，从而的点也有1个．
所以当点沿这两边运动时，的点有2个．
6.（本题满分14分）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点、和点.
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为，求四边形的面积；
（3）有两动点、同时从点出发，其中点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，点以每秒个单位长度的速度沿折线按→→的路线运动，当、两点相遇时，它们都停止运动.设、同时从点出发秒时，的面积为S.
①请问、两点在运动过程中，是否存在∥，若存在，请求出此时的值；
若不存在
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