一元二次方程的应用-几何应用Word格式文档下载.doc

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10．某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

11．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）写出一个“勾系一元二次方程”；

（2）求证：

关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；

（3）若x=﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

12．已知：

如图，在△ABC中，∠B=90°

，AB=5cm，BC=7cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．

（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？

（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？

（3）在

（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？

说明理由．

13．如图，四边形ABCD为矩形，AB=16cm．AD=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向B点移动，一直到达B点为止，点Q以2cm/s的速度向D点移动．

（1）P、Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33cm2？

（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q之间的距离第一次是10cm？

（3）在运动过程中，点P和点Q之问的距离可能是18cm吗？

如果可能，求出运动时间t，如果不可能，请说明理由．（取1.4）

14．如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？

如果能，求x的值；

如果不能，请说明理由．

参考答案

1．【解答】解：

设CD与A′C′交于点H，AC与A′B′交于点G，

由平移的性质知，A′B′与CD平行且相等，∠ACB′=45°

，∠DHA′=∠DA′H=45°

，

∴△DA′H是等腰直角三角形，A′D=DH，四边形A′GCH是平行四边形，

∵SA′GCH=HC•B′C=（CD﹣DH）•DH=1，

∴DH=A′D=1，

∴AA′=AD﹣A′D=1．

故答案为1．

2．【解答】解：

设竖彩条的宽为xcm，则横彩条的宽为2xcm，则

（30﹣2x）（20﹣4x）=30×

20×

（1﹣），

整理得：

x2﹣20x+19=0，

解得：

x1=1，x2=19（不合题意，舍去）．

答：

竖彩条的宽度为1cm．

3．x（58﹣2x）=200

x1=25，x2=4

∴另一边为8米或50米．

当矩形长为25米时宽为8米，当矩形长为50米时宽为4米．

4．【解答】解：

设围成面积为acm2的长方形的长为xcm，则宽为（60÷

2﹣x）cm，依题意，得

x（60÷

2﹣x）=a，整理，得

x2﹣30x+a=0，

∵△=900﹣4a≥0，

解得a≤225，

∴a的值不可能为240；

5．【解答】解：

设动点P，Q运动t秒后，能使△PBQ的面积为15cm2，

则BP为（8﹣t）cm，BQ为2tcm，由三角形的面积计算公式列方程得，

×

（8﹣t）×

2t=15，

解得t1=3，t2=5（当t=5时，BQ=10，不合题意，舍去）．

动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为15cm2．

6．【解答】解：

设点P、Q分别从点A、B同时出发，xs后P、Q之间的距离等于4cm，

∵AP=1•x=x，BQ=2x，

∴BP=AB﹣AP=6﹣x，

∴BP2+BQ2=PQ2，

即（6﹣x）2+（2x）2=（4）2，

x1=，x2=2（不合题意，舍去）．

点P、Q分别从点A、B同时出发，s后P、Q之间的距离等于4cm．

7．【解答】解：

作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，

∵∠POQ=45°

∴∠OPG=45°

∵OP=t，

∴OG=PG=t，

∴点P（t，t），

又∵Q（2t，0），B（6，2），

根据勾股定理可得：

PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，

①若∠PQB=90°

，则有PQ2+BQ2=PB2，

即：

2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，

4t2﹣8t=0，

t1=0（舍去），t2=2，

∴t=2，

②若∠PBQ=90°

，则有PB2+QB2=PQ2，

∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，

t2﹣10t+20=0，

t=5±

．

∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．

故答案为：

2或5+或5﹣．

8．【解答】解：

如图．设BC=a，AC=b．

根据题意得a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1）．

由勾股定理可知a2+b2=25，

∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（2m﹣1）2﹣8（m﹣1）=4m2﹣12m+9=25，

∴4m2﹣12m﹣16=0，

即m2﹣3m﹣4=0，

解得m1=﹣1，m2=4．

∵a+b=2m﹣1＞0，

即m＞，

∴m=4．

4．

9．【解答】解：

（1）当t＜10秒时，P在线段AB上，此时CQ=t，PB=10﹣t

∴

当t＞10秒时，P在线段AB得延长线上，此时CQ=t，PB=t﹣10

（2）∵S△ABC=

∴当t＜10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t+100=0无解（6分）

当t＞10秒时，S△PCQ=

整理得t2﹣10t﹣100=0解得t=5±

5（舍去负值）（7分）

∴当点P运动秒时，S△PCQ=S△ABC（8分）

（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

证明：

过Q作QM⊥AC，交直线AC于点M

易证△APE≌△QCM，

∴AE=PE=CM=QM=t，

∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半．

又∵EM=AC=10∴DE=5

∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

同理，当点P在点B右侧时，DE=5

综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

10．【解答】解：

设人行道的宽度为x米，根据题意得，

（18﹣3x）（6﹣2x）=60，

化简整理得，（x﹣1）（x﹣8）=0．

解得x1=1，x2=8（不合题意，舍去）．

人行通道的宽度是1m．

11．【解答】

（1）解：

当a=3，b=4，c=5时

勾系一元二次方程为3x2+5x+4=0；

（2）证明：

根据题意，得

△=（c）2﹣4ab=2c2﹣4ab

∵a2+b2=c2

∴2c2﹣4ab=2（a2+b2）﹣4ab=2（a﹣b）2≥0

即△≥0

∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：

当x=﹣1时，有a﹣c+b=0，即a+b=c

∵2a+2b+c=6，即2（a+b）+c=6

∴3c=6

∴c=2

∴a2+b2=c2=4，a+b=2

∵（a+b）2=a2+b2+2ab

∴ab=2

∴S△ABC=ab=1．

12．【解答】解：

（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6

（5﹣x）×

2x=6

x2﹣5x+6=0

x=2或x=3

2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2

（2）当PQ=5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2=PQ2，

∴（5﹣t）2+（2t）2=52，

5t2﹣10t=0，

t（5t﹣10）=0，

t1=0，t2=2，

∴当t=0或2时，PQ的长度等于5cm．

（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，

2x=8

x2﹣5x+8=0

△=25﹣32=﹣7＜0

∴△PQB的面积不能等于8cm2．

13．【解答】解：

（1）设P、Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33cm2，

则PB=（16﹣3x）cm，QC=2xcm，

根据梯形的面积公式得（16﹣3x+2x）×

6=33，

解得x=5；

P、Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33cm2；

（2）设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10cm，

作QE⊥AB，垂足为E，