一元一次方程优质讲义Word文档下载推荐.docx

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方程及一元一次方程的相关概念

方程的概念：

含有未知数的等式叫做方程。

一元一次方程的概念：

方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的指数是一次的方程叫做一元一次方程。

其中“元”是指未知数，“一元”是指一个未知数；

“次”是指含有未知数的项的最高次数，“一次”是指含有未知数的项的最高次数是一次。

等式、方程、一元一次方程的区别和联系：

区别

举例

联系

等式

用等号连接的式子。

3+2=5，x+1=0

都是用等号连接的式子

方程

含有未知数的等式。

X+1=0，x+y=2

方程两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的指数是一次的方程。

X+1=0，y+1=y

方程的解的概念：

使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。

（1）解方程的概念：

求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。

（2）判断一个未知数的值是不是方程的解：

将未知数的值代入方程，看左右两边的值是否相等，能使方程左右两边相等的味之素的值就是方程的解。

否则就不是方程的解。

一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤、注意点、基本思路。

一般步骤

注意点

（1）去分母

方程的每一项都要乘以最简公分母

（2）去括号

去掉括号，括号内的每项符号都要同时变或不变

（3）移项

移项要变号

（4）合并同类项

只要把系数合并，字母和它的指数不变。

（5）方程两边同除以未知数的系数

相除时系数不等于0。

若为0，则方程可能无解或有无穷多解。

重点题型总结及应用

知识点一：

一元一次方程的概念

例1、已知下列各式：

①2x－5＝1；

②8－7＝1；

③x＋y；

④x－y＝x2；

⑤3x＋y＝6；

⑥5x＋3y＋4z＝0；

⑦＝8；

⑧x＝0。

其中方程的个数是（　　）

A、5　　B、6　　C、7　　D、8

举一反三：

【变式1】判断下列哪些方程是一元一次方程：

（1）-2x2+3=x

（2）3x-1=2y（3）x+=2（4）2x2-1=1-2（2x-x2）

【变式2】若关于的方程是一个一元一次方程，则_______．

【变式3】若关于的方程是一元一次方程，则_______

【变式4】若关于的方程是一元一次方程，则_______．

【变式5】若关于的方程是一元一次方程，

则_______．

【变式6】已知：

（a－3）（2a＋5）x＋（a－3）y＋6＝0是关于x的一元一次方程，

则a=_______．

知识点二：

方程的解

题型一：

已知方程的解，求未知常数

例2、当取何值时，关于的方程的解为？

已知．

（1）当时，求的值；

（2）当时，求的值．

题型二：

已知一方程的解，求另一方程的解

例3、已知是关于的方程的解，解关于的方程：

．

题型三：

同解问题

例4、方程与的解相同，求的值.

【变式1】已知方程与方程的解相同．

（1）求的值；

（2）求代数式的值．

【变式2】已知方程与方程的解相同，求k的值.

【变式3】方程的解与关于x的方程的解互为倒数，

求k的值。

题型四：

已知方程解的情况，求未知常数的取值范围

例5、要使方程ax=a的解为1,则（）

A.a可取任何有理数B.a＞0C.a＜0D.a≠0

例6、关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数,则a的值为（）

A.2B.3C.1或2D.2或3

已知方程2ax=（a＋1）x+6,求a为何整数时,方程的解是正整数.

知识点三：

等式的性质（方程变形——解方程的重要依据）

注：

分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为，

如方程：

－=1.6，将其化为：

－=1.6。

方程的右边没有变化，

这要与“去分母”区别开。

例7、下列等式变形正确的是（）

A.若,则B.若,则

C.若,则D.若,则

1、若,下列变形不一定正确的是（）

A.B.C.D.

2、下列等式变形错误的是（）

A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得6a=6bC.由x+2=y+2得x=yD.由x÷

3=3÷

y得x=y

3、运用等式性质进行的变形,正确的是（）

A.如果a=b那么a+c=b-c;

B.如果6＋a=b-6那么a=b;

C.如果a=b那么a×

3=b÷

3;

D.如果a2=3a那么a=3

4、下列等式变形错误的是（）

A.由a=b得a+5=b+5B.由a=b得C.由x+2=y+2得x=yD.由-3x=-3y得x=-y

5、运用等式性质进行的变形,正确的是（）

A.如果a=b,那么a+c=b-c;

B.如果,那么a=b;

C.如果a=b,那么;

D.如果a2=3a,那么a=3

6、如果ma=mb，那么下列等式中不一定成立的是（　）

A.ma+1=mb+1B.ma—3=mb—3C.a=bD.

7、运用等式性质进行的变形,正确的是（）。

C.如果a=b,那么D.如果,那么a=3

知识点四：

解一元一次方程的一般步骤：

例8、（用常规方法）解方程：

（非常规方法解方程）

（一）巧凑整数解方程

例9、解方程：

思路点拨：

仔细观察发现，含未知数的项的系数和为，

常数项和为，故直接移项凑成比先去分母简单。

【变式】解方程：

＝2x－5

（二）巧用观察法解方程

例10、解方程：

（三）巧去括号法解方程

含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。

例11、解方程：

因为题目中分数的分子和分母具有倍数关系，所以从向去括号可以使计算简单。

（四）运用拆项法解方程

在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后

再合并，有时可以使运算简便。

例12、解方程：

注意到_____________________，这样逆用分数加减法法则，可使计算简便。

（五）巧去分母解方程

当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现

比较繁琐的运算。

为了避免这样的运算。

应把分母化成整数。

化整数时，利用分数的基

本性质将各个分子、分母同时扩大相同的倍数即可。

例13、解方程：

＝1

（六）巧组合解方程

例14、解方程：

按常规解法将方程两边同乘化去分母，但运算较复杂，注意到左边

的第一项和右边的第项中的分母有公约数，左边的第项和右

边的第一项的分母有公约数，移项局部通分化简，可简化解题过程。

（七）巧解含有绝对值的方程

解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。

对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个

一元一次方程分别解之，即若|x|＝m，则_________________________。

例15、解方程：

|x－2|－3＝0

解法一：

解法二：

【变式1】5|x|－16＝3|x|－4

【变式2】

解一元一次方程常用的技巧有：

（1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

（2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。

（3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

（4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。

知识点五：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用

方程有唯一解

例16、若（3a+2b）x2+ax+b=0是关于x的一元一次方程,且x有唯一解,求这个解.

方程有无数解

例17、关于x的方程3x－4=a－bx有无穷多个解,则a.b的值应是（）

A.a=4,b=－3B.a=－4,b=－3C.a=4,b=3D.a.b可取任意数

方程无解

例18、已知关于x的方程无解，则a的值是（）

A.1B.-1C.±

1D.不等于1的数

1、已知关于x的方程a（2x-1）=3x-2无解，试求a的值．

2、若关于x的方程︳2x－1︳+m=0无解,则m=____________.

3.

（1）关于x的方程4k（x+2）－1=2x无解,求k的值;

（2）关于x的方程kx－k=2x－5的解为正数,求k的取值范围.

4、已知关于x的方程a（2x－1）=4x+3b,当a、b为何值时:

（1）方程有唯一解?

（2）方程有无数解?

（3）方程没有解?

总结升华：

理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况

（1）a≠0时，方程有唯一解x=；

（2）a=0，b=0时，方程有无数个解；

（3）a=0，b≠0时，方程无解。

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