行列式的计算方法及应用毕业论文Word文件下载.doc

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科学研究、工程技术和经济活动中有许多问题可归结为线性方程组，行列式正是由研究线性方程组产生的，并成为一种重要的数学工具，因此懂得解行列式就非常重要。

本文总结了行列式的十一种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪。

另外还叙述了行列式在初中代数和解析几何两个方面的应用。

【关键词】线性方程组行列式初中代数解析几何

Calculatingmethodsofdeterminantanditsapplication

Abstract

Scientificresearch,engineeringandeconomicactivitiesandtherearealotofproblemscanbeformulatedaslinearequations,thedeterminantisgeneratedbyasystemoflinearequations,andbecomeanimportantmathematicaltool,soitisveryimportanttoknowthesolutiondeterminant.Thispapersummarizeselevenmethodsofcalculatingthedeterminant,andeachmethodareexamplesoftracking.Alsodescribesthedeterminantintheapplicationofthetwoaspectsofjuniorhighschoolalgebraandanalyticgeometry

【KeyWords】linearequationsDeterminantjuniorhighschoolalgebraanalyticGeometry

目录

前言 1

一、行列式的计算方法 3

（一）利用行列式定义计算 3

（二）利用行列式的性质计算 4

（三）化三角形法 4

（四）降阶法 6

（五）递推公式法 6

（六）利用范德蒙行列式 7

（七）加边法 8

（八）数学归纳法 8

（九）连加法 9

（十）拆项发 9

（十一）析因子法 10

二、行列式的应用 10

（一）行列式在代数中的应用 11

（二）行列式在几何中的应用 12

参考文献 14

致谢 15

15

学生姓名：

张建民指导老师：

王翠虹

前言

解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位。

比如说，如果一段导线的电阻为,它两端的点位差为,那么通过这段导线的电流强度为,就可以用关系式表示求出来。

这就是通常所谓解一元一次方程的问题。

在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组。

下面讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组。

对于二元线性方程组

当时，此方程组有唯一解，即

，

称为二级行列式，用符号表示为

当二级行列式

时，该方程组有唯一解，即

对于三元线性方程组有相仿的结论。

设有三元线性方程组

称代数式为三级行列式，用符号表示为：

=

我们有：

当三级行列式

时，上述三元线性方程组有唯一解，解为

其中

把这个结果推广到元线性方程组

的情形。

为此将要给出级行列式的定义及计算方法。

定义级行列式

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

的代数和，这里是的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：

当是偶排列时，带有正号，当是奇排列时，带负号。

这一定义可以写成

这里表示对所有级排列求和。

级行列式性质：

把行列式的各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。

把行列式的两行（两列）对调，所得行列式与原行列式绝对值相等，符号相反。

把行列式的某一行（或一列）的所有元素乘以某个数，等于用数乘原行列式。

如果行列式某两行（或两列）的对应元素成比例，那么行列式等于零。

如果行列式的某一行（一列）的元是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。

把行列式某一行（或列）的所有元同乘以一个数，加到另一行（或一列）的对应元上，所得行列式与元行列式相等。

行列式某一行（或一列）的各元与另一行（或一列）对应元的代数余子式的乘积的和等于零。

行列式等于它的任意一行（或一列）的所有元与它们各自对应的代数余子式的乘积的和。

一、行列式的计算方法

（一）、利用行列式定义计算

例1计算行列式

解：

展开式中项的一般形式是

显然，如果，那么，从而这个项都等于零。

因此只需考虑的那些项；

同理，只需考虑这些列指标的项。

这就是说行列式不为零的项只有这一项，而这一项前面的符号应该是正的。

所以

（二）、利用行列式的性质计算

例2计算级行列式

这个行列式的特点是每一行有一个元素是，其余个是。

根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变……直到第列也加到第一列，即得

=

把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍，就有

根据例1得

（三）、化三角形法

化三角形法是利用行列式的性质将原行列式化为上（下）三角形行列式计算的一种方法，它是计算行列式的重要方法之一。

因为利用行列式的定义容易计算上（下）三角形行列式。

因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作保值变形，再将其化为三角形行列式。

例3计算行列式

解

=

（四）、降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.

例5计算行列式

解

（五）、递推公式法

应用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，n-1阶或n-1阶与n-2阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式。

根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给n阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法。

例6计算阶行列式

解按第一列展开

于是有

=

及

=

从上两式削去，得

对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式

，然后采用如下一些方法求解。

方法1如果较小，则直接递推计算。

方法2用第二数学归纳法：

即验证时结论成立，设结论成立，若证明时结论也成立，则对任意自然数结论相应也成立。

方法3将变形为，其中，

由韦达定理知是一元二次方程的两个根。

确定后，令，利用递推求出，再由递推求出。

方法4设代入得因此有（称为特征方程），求出其根（假设），则这里可通过取来确定。

例4求阶行列式的值

解按第一行展开得，即作特征方程解得，则

当时，，代入式得当时，，代入得联立求解得，故

（六）、利用范德蒙行列式

例7计算行列式

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第行的－1倍加到第行，便得范德蒙行列式

其中“”表示连乘号。

（七）、加边法

计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法。

当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算。

要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列。

加法适用于某一行（列）有一个相同的字母外，也可用于其列（行）的元素分别为个元素的倍数的情况。

例8计算行列式

解给原行列式加边

（八）、数学归纳法

首先利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明。

但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般是用来证明行列式等式。

例9计算阶行列式

解用数学归纳法当时

=

假设时，有

则当时，把按第一列展开，得

=

（九）、连加法

如果行列式中某列（行）加上其余各列（行），使该列（行）元素均相等或出现较多零，进而简化行列式的计算方法称为连加法。

例10计算行列式

解它的特点是各列元素之和为,因此把各行都加到第一行，然而第一行再提出,得

将第一行乘以分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

=

（十）、拆项发

把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，进而使行列式简化以便计算。

例11算行列式

解

=

（十一）、析因子法

例12算行列式

解由行列式定义知为的4次多项式，

又，当