算法设计与分析习题答案1-6章Word文档格式.doc
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m=n
2.2
n=r
2.3
r=m-n
3
输出m
3.设计算法求数组中相差最小的两个元素(称为最接近数)的差。
要求分别给出伪代码和C++描述。
//采用分治法
//对数组先进行快速排序
//在依次比较相邻的差
#include<
iostream>
usingnamespacestd;
intpartions(intb[],intlow,inthigh)
{
intprvotkey=b[low];
b[0]=b[low];
while(low<
high)
while(low<
high&
&
b[high]>
=prvotkey)
--high;
b[low]=b[high];
b[low]<
=prvotkey)
++low;
b[high]=b[low];
}
b[low]=b[0];
returnlow;
voidqsort(intl[],intlow,inthigh)
intprvotloc;
if(low<
prvotloc=partions(l,low,high);
//将第一次排序的结果作为枢轴
qsort(l,low,prvotloc-1);
//递归调用排序由low到prvotloc-1
qsort(l,prvotloc+1,high);
//递归调用排序由prvotloc+1到high
voidquicksort(intl[],intn)
qsort(l,1,n);
//第一个作为枢轴,从第一个排到第n个
intmain()
inta[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};
intvalue=0;
//将最小差的值赋值给value
for(intb=1;
b<
11;
b++)
cout<
<
a[b]<
'
'
;
endl;
quicksort(a,11);
for(inti=0;
i!
=9;
++i)
if((a[i+1]-a[i])<
=(a[i+2]-a[i+1]))
value=a[i+1]-a[i];
else
value=a[i+2]-a[i+1];
value<
return0;
4.设数组a[n]中的元素均不相等,设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素,并说明最坏情况下的比较次数。
#include<
intmain()
{
inta[]={1,2,3,6,4,9,0};
intmid_value=0;
//将“既不是最大也不是最小的元素”的值赋值给它
for(inti=0;
=4;
{
if(a[i+1]>
a[i]&
a[i+1]<
a[i+2])
{
mid_value=a[i+1];
cout<
mid_value<
break;
}
elseif(a[i+1]<
a[i+1]>
{
cout<
}//for
5.编写程序,求n至少为多大时,n个“1”组成的整数能被2013整除。
doublevalue=0;
for(intn=1;
n<
=10000;
++n)
{
value=value*10+1;
if(value%2013==0)
"
n至少为:
break;
}
}//for
return0;
6.计算π值的问题能精确求解吗?
编写程序,求解满足给定精度要求的π值
intmain()
doublea,b;
doublearctan(doublex);
//声明
a=16.0*arctan(1/5.0);
b=4.0*arctan(1/239);
cout<
"
PI="
<
a-b<
endl;
return0;
doublearctan(doublex)
inti=0;
doubler=0,e,f,sqr;
//定义四个变量初
sqr=x*x;
e=x;
while(e/i>
1e-15)//定义精度范围
f=e/i;
//f是每次r需要叠加的方程
r=(i%4==1)?
r+f:
r-f;
e=e*sqr;
//e每次乘于x的平方
i+=2;
//i每次加2
}//while
returnr;
7.圣经上说:
神6天创造天地万有,第7日安歇。
为什么是6天呢?
任何一个自然数的因数中都有1和它本身,所有小于它本身的因数称为这个数的真因数,如果一个自然数的真因数之和等于它本身,这个自然数称为完美数。
例如,6=1+2+3,因此6是完美数。
神6天创造世界,暗示着该创造是完美的。
设计算法,判断给定的自然数是否是完美数
intvalue,k=1;
cin>
>
value;
for(inti=2;
=value;
{
while(value%i==0)
{
k+=i;
//k为该自然数所有因子之和
value=value/i;
}
if(k==value)
cout<
该自然数是完美数"
else
该自然数不是完美数"
return0;
8.有4个人打算过桥,这个桥每次最多只能有两个人同时通过。
他们都在桥的某一端,并且是在晚上,过桥需要一只手电筒,而他们只有一只手电筒。
这就意味着两个人过桥后必须有一个人将手电筒带回来。
每个人走路的速度是不同的:
甲过桥要用1分钟,乙过桥要用2分钟,丙过桥要用5分钟,丁过桥要用10分钟,显然,两个人走路的速度等于其中较慢那个人的速度,问题是他们全部过桥最少要用多长时间?
由于甲过桥时间最短,那么每次传递手电的工作应有甲完成
甲每次分别带着乙丙丁过桥
例如:
第一趟:
甲,乙过桥且甲回来
第二趟:
甲,丙过桥且甲回来
甲,丁过桥
一共用时19小时
9.欧几里德游戏:
开始的时候,白板上有两个不相等的正整数,两个玩家交替行动,每次行动时,当前玩家都必须在白板上写出任意两个已经出现在板上的数字的差,而且这个数字必须是新的,也就是说,和白板上的任何一个已有的数字都不相同,当一方再也写不出新数字时,他就输了。
请问,你是选择先行动还是后行动?
为什么?
设最初两个数较大的为a,较小的为b,两个数的最大公约数为factor。
则最终能出现的数包括:
factor,factor*2,factor*3,...,factor*(a/factor)=a.一共a/factor个。
如果a/factor是奇数,就选择先行动;
否则就后行动。
习题4
1.分治法的时间性能与直接计算最小问题的时间、合并子问题解的时间以及子问题的个数有关,试说明这几个参数与分治法时间复杂性之间的关系。
2.证明:
如果分治法的合并可以在线性时间内完成,则当子问题的规模之和小于原问题的规模时,算法的时间复杂性可达到O(n)。
O(N)=2*O(N/2)+x
O(N)+x=2*O(N/2)+2*x
a*O(N)+x=a*(2*O(N/2)+x)+x=2*a*O(N/2)+(a+1)*x
由此可知,时间复杂度可达到O(n);
3.分治策略一定导致递归吗?
如果是,请解释原因。
如果不是,给出一个不包含递归的分治例子,并阐述这种分治和包含递归的分治的主要不同。
不一定导致递归。
如非递归的二叉树中序遍历。
这种分治方法与递归的二叉树中序遍历主要区别是:
应用了栈这个数据结构。
4.对于待排序序列(5,3,1,9),分别画出归并排序和快速排序的递归运行轨迹。
归并排序:
(5,3)(1,9);
(3,5,1,9);
第三趟:
(1,3,5,9);
快速排序:
第一趟:
5(,3,1,9);
//5为哨兵,比较9和5
第二趟:
5(1,3,,9);
//比较1和5,将1挪到相应位置;
第三趟:
5(1,3,,9);
//比较3和5;
第四趟:
(1,3,5,9);
5.设计分治算法求一个数组中的最大元素,并分析时间性能。
//简单的分治问题
//将数组均衡的分为“前”,“后”两部分
//分别求出这两部分最大值,然后再比较这两个最大值
externconstintn=6;
inta[n]={0,6,1,2,3,5};
//初始化
intmid=n/2;
intnum_max1=0,num_max2=0;
for(inti=0;
i<
=n/2;
++i)//前半部分
{
if(a[i]>
num_max1)
num_max1=a[i];
for(intj=n/2+1;
j<
n;
++j)//后半部分
if(a[j]>
num_max2)