数学周报杯2009年全国初中数学竞赛试题及答案Word下载.doc
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由，解得．
3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x，y的方程组只有正数解的概率为（）．
（A）（B）（C）（D）
【答】D．
当时，方程组无解．
当时，方程组的解为
由已知，得即或
由，的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
共有5×
2＝10种情况；
或共3种情况．
又掷两次骰子出现的基本事件共6×
6＝36种情况，故所求的概率为．
4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，.动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y.把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（）．
（A）10（B）16（C）18（D）32
（第4题）
图2
图1
【答】B．
根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝×
8×
4＝16.
5．关于x，y的方程的整数解（x，y）的组数为（）．
（A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组
【答】C．
可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为
．
由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．
由≥，
解得≤．于是
1
4
9
16
116
109
88
53
显然，只有时，是完全平方数，符合要求．
当时，原方程为，此时；
当y＝－4时，原方程为，此时．
所以，原方程的整数解为
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；
若把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶km．
【答】3750．
设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1km
磨损量为,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
两式相加，得，
则．
7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；
再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为．
如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF．
由题设知，，在△FHA和△EFA中，
，
所以Rt△FHA∽Rt△EFA，
.
（第7题）
而，所以.
8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值为．
【答】10．
因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．
又因为，所以
．
由，可得．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于．
【答】．
如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．
故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
，
（第9题）
即，
解得．所以．
（第10题）
10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：
每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是．
【答】．
解：
设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．
于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的数是，报3的人心里想的数是．所以
，
解得．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线与动直线有公共点，，
且.
（1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值.
（1）联立与，消去y得二次方程
①
有实数根，，则．所以
=＝．②
………………5分
把②式代入方程①得
．③
………………10分
t的取值应满足
≥0，④
且使方程③有实数根，即
＝≥0，⑤
解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.
所以，t的取值范围为
≤≤.⑥
………………15分
（2）由②式知.
由于在≤≤时是递增的，所以，当
时,.………………20分
12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．
由可得．，且
．
………………5分
因为是奇数，所以等价于，又因为，所以等价于．因此有，于是可得．
………………15分
又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分
13．如图，给定锐角三角形ABC，，AD，BE是它的两条高，过点作△ABC的外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
（第13A题）
解法1：
结论是．下面给出证明．………………5分
因为，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得
同理可得．
………………10分
又因为，所以有，于是可得
．………………20分
解法2：
结论是．下面给出证明．
………………5分
连接DE，因为，所以A，B，D，E四点共圆，故
．………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以．………………15分
所以，，于是DE∥FG，故DF＝EG．
………………20分
14．n个正整数满足如下条件：
；
且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即．
于是，对于任意的1≤≤n，都有
从而．………………5分
由于是正整数，故
．………………10分
由于
≥，
所以，≤2008，于是n≤45.
结合，所以，n≤9．………………15分
另一方面，令，…，，
，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9.………………20分
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