第五章线性方程组习题解答Word格式.doc

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（1）齐次线性方程组解的情况是．

（A）无解；

（B）仅有零解；

（C）必有非零解；

（D）可能有非零解，也可能没有非零解．

答（C）．

（2）设元齐次线性方程组的系数矩阵的秩，且为此方程组的三个线性无关的解，则此方程组的基础解系是．

（A）；

（B）；

（C）；

（D）．

答（A）．

（3）要使，都是线性方程组的解，只要为．

（B）；

（D）．

（4）已知是的两个不同的解，是相应的齐次方程组的基础解系，为任意常数，则的通解是．

（B）；

（D）．

答（B）．

（5）设阶矩阵的伴随矩阵若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系是．

（A）不存在；

（B）仅含一个非零解向量；

（C）含有两个线性无关的解向量；

（D）含有三个线性无关的解向量．

（6）设有齐次线性方程组和，其中，均为矩阵，现有4个命题：

①若的解均是的解，则；

②若，则的解均是的解；

③若与同解，则；

④若，则与同解．

以上命题正确的是．

（A）①，②；

（B）①，③；

（C）②，④；

（D）③，④．

（7）设是矩阵，是矩阵，则线性方程组．

（A）当时仅有零解；

（B）当时必有非零解；

（C）当时仅有零解；

（D）当时必有非零解．

答（D）．

（8）设是阶矩阵，是维列向量．若秩秩，则线性方程组．

（A）必有无穷多解；

（B）必有惟一解；

（C）仅有零解；

（D）必有非零解．

3．求下列齐次线性方程组的一个基础解系

（1）

解对系数矩阵施行初等行变换，有

与原方程组同解的方程组为

或写为

其中为任意常数．所以，基础解系为

（2）

解

其中，可取任意常数，故

所以，基础解系为

（3）

，方程组组只有零解．

（4）

故

所以基础解系为

4．求解下列非齐次线性方程组．

解对增广矩阵施行初等行变换

所以．无解．

，所以原方程组有解．与原方程组同解的方程组为

（3）

，原方程组有解．与原方程组同解的方程组为

所以原方程组的通解为

（4）

故通解为

5．问取何值时，非齐次线性方程组

（1）有惟一解；

（2）无解；

（3）有无穷个解？

解系数行列式

当且时，方程组有惟一解．

当时，对增广矩阵施行初等行变换

则，故原方程组有解且有无穷多解．

．所以方程组无解．

6．非齐次线性方程组

当取何值时有解？

并求出它的全部解．

解对增广矩阵施行初等行变换，得

当且时，方程组无解．

当时，有

，方程组有解，且与原方程组同解的方程组为

故原方程组的解为

故方程组的解为

7．设问为何值时，此方程组有惟一解、无解或有无穷多解？

并在有无穷多解时求出其通解．

，方程组有无穷多解，此时

通解为

，故方程组无解．

8．问为何值时，非齐次线性方程组

（1）有惟一解，求出惟一解；

（2）无解；

（3）有无穷多解，并写出通解．

解方程组的增广矩阵

当时，，方程组有惟一解．此时

所以，．

所以，当且时，，，方程组无解．

而当且时，有

故原方程组的通解为

其中为任意实数．

9．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，已知是它的三个解向量，且

求该方程组的通解．

解，所以，令

则为基础解系，故方程组的通解为

其中可取任意常数．

10．设都是阶方阵，且．证明

证明设，则有

可见每个都是的解向量．因，可知的解空间的维数是，所以向量组的秩小于等于，从而，于是．

11．已知非齐次线性方程组

有3个线性无关的解．

（1）证明方程组的系数矩阵的秩；

（2）求的值及方程组的通解．

解

（1）设是方程组的3个线性无关的解，其中

则有，即是对应齐次线性方程组的解，且线性无关．（否则，易推出线性相关，矛盾）．

所以，即．又矩阵中有一个2阶子式，所以．因此．

（2）因为

又，则

对原方程组的增广矩阵施行初等行变换，

故原方程组与下面的方程组同解

选为自由变量，则

故所求通解为

，为任意常数．

12．已知三阶矩阵的第一行是，不全为零，矩阵（为常数），且，求线性方程组的通解．

解由于，故，又由不全为零，可知．

当时，，于是；

当时，，于是或．

①对于，由可得

和．

由于线性无关，故为的一个基础解系，于是的通解为，其中为任意常数．

②对于，分别就和进行讨论．

如果，则的基础解系由一个向量构成．又因为，所以的通解为，其中为任意常数．

如果，则的基础解系由两个向量构成．又因为的第行是，且不全为零，所以等价于．不妨设，是的两个线性无关的解，故的通解为，其中为任意常数．

13．确定常数,使向量组可由向量组，，线性表示，但向量组不能由向量组线性表示．

解对矩阵作初等行变换，有

=

，

当时，

显然不能由线性表示，因此；

显然均不能由线性表示，因此．

而当且时，秩，此时向量组可由向量组线性表示．又

由题设向量组不能由向量组线性表示，必有或，即或．

综上所述，满足题设条件的只能是．

14．已知齐次线性方程组

（Ⅰ）（Ⅱ）

同解，求的值．

解方程组（Ⅱ）的未知量个数大于方程个数，故方程组（Ⅱ）有无穷多解．因为方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解，所以方程组（Ⅰ）的系数矩阵的秩小于3．

对方程组（Ⅰ）的系数矩阵施以初等行变换

从而．此时，方程组（Ⅰ）的系数矩阵可化为

故是方程组（Ⅰ）的一个基础解系．

将代入方程组（Ⅱ）可得

或

当时，对方程组（Ⅱ）的系数矩阵施以初等行变换，有

显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解．

显然此时方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）的解不相同．

综上所述，当时，方程组（Ⅰ）与（Ⅱ）同解．

15．设有齐次线性方程组

试问取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

解对方程组的系数矩阵作初等行变换，有

当时，，故方程组有非零解，其同解方程组为

由此得基础解系为

于是方程组的通解为

其中为任意常数．

当时，对矩阵作初等行变换，有

可知时，，故方程组也有非零解，其同解方程组为

，其中为任意常数．

16．设,,,,试讨论当为何值时,

（1）不能由线性表示；

（2）可由惟一地线性表示,并求出表示式；

（3）可由线性表示,但表示式不惟一,并求出表示式．

解设有数使得

记．对矩阵施以初等行变换,有

（1）当时,有

可知． 故方程组无解,不能由线性表示．

（2）当,且时,有

方程组有惟一解：

,．

此时可由惟一地线性表示,其表示式为

（3）当时,对矩阵施以初等行变换,有

，方程组有无穷多解，其全部解为

,，其中为任意常数．

可由线性表示,但表示式不惟一，其表示式为

17．设线性方程组

已知是该方程组的一个解，试求

（1）方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；

（2）该方程组满足的全部解．

解将代入方程组，得．对方程组的增广矩阵施以初等行变换,得

（1）　当时，有

，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为，故方程组的全部解为

（为任意常数）．

，故方程组有无穷多解，且为其一个特解，对应的齐次线性方程组的基础解系为，，故方程组的全部解为

（为任意常数）．

（2）当时，由于，即

解得，故方程组的解为

．

当时，由于，即，解得

故方程组的全部解为

18．已知平面上三条不同直线的方程分别为

试证这三条直线交于一点的充分必要条件为．

解必要性．设三条直线交于一点，则线性方程组

有惟一解，故系数矩阵与增广矩阵的秩均为2，于是．由于

=,

但根据题设，故

充分性．由，则从必要性的证明可知，，故秩．由于

=，

故秩．于是，秩秩．因此方程组有惟一解，即三直线交于一点．

*19．求方程组

的最小二乘解．

解方程组的系数矩阵和常数项矩阵为

，，

记

则方程组的正规方程为

解之得

因此，方程组的最小二乘解为

*20．当外加电压（单位:

）分别为5，8，10，12时，测得电源中对应的电流（单位:

）分别为4，6，8，9，试根据公式确定电源内阻与电源的端电势．

解根据公式，把测得的数据代入方程，得

该方程组的系数矩阵和常数项矩阵为

即

。

B　组

1．设是阶方阵，是阶单位矩阵，证明

（1）若