定积分习题及答案Word下载.doc
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24．；
25．。
（B层次）
1．求由所决定的隐函数对的导数。
2．当为何值时，函数有极值？
3．。
4．设，求。
5．。
6．设，求。
7．设，求。
8．。
9．求。
10．设是连续函数，且，求。
11．若，求。
12．证明：
。
13．已知，求常数。
14．设，求。
15．设有一个原函数为，求。
16．设，在上，求出常数，使最小。
17．已知，求。
18．设，求。
19．。
20．设时，的导数与是等价无穷小，试求。
（C层次）
1．设是任意的二次多项式，是某个二次多项式，已知，求。
2．设函数在闭区间上具有连续的二阶导数，则在内存在，使得。
3．在上二次可微，且，。
试证。
4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证（）。
5．设在上连续，，，求证存在一点，，使。
6．设可微，，，，求。
7．设在上连续可微，若，则。
8．设在上连续，，求证。
9．设为奇函数，在内连续且单调增加，，证明：
（1）为奇函数；
（2）在上单调减少。
10．设可微且积分的结果与无关，试求。
11．若在连续，，，证明：
12．求曲线在点（0,0）处的切线方程。
13．设为连续函数，对任意实数有，求证。
14．设方程，求。
15．设在上连续，求证：
（）
16．当时，连续，且满足，求。
17．设在连续且递减，证明
，其中。
18．设连续，，，，试证：
19．设是上的连续函数，，试证在内方程至少有一个根。
20．设在连续，且，又，证明：
（1）
（2）在内有且仅有一个根。
21．设在上连续，则。
22．设是以为周期的连续函数，证明：
23．设在上正值，连续，则在内至少存在一点，使
24．证明。
25．设在上连续且严格单调增加，则。
26．设在上可导，且，，则。
27．设处处二阶可导，且，又为任一连续函数，则，。
28．设在上二阶可导，且，则。
29．设在上连续，且，，证明在上必有。
30．在上连续，且对任何区间有不等式（，为正常数），试证在上。
（A）
1．
解：
原式
2．
令，则
当时，当时
原式
3．
当，时分别为，
4．
令，则，
当，1时，
5．
令，
当时，；
当时，
6．
当时
7．
8．
9．
10．
∵为奇函数
∴
11．
12．
13．
14．
15．
16．
故
17．
18．
故
19．
20．
21．
22．
23．
24．
故
25．
故
（B）
将两边对求导得
∴
，令得
当时，
当时，
∴当时，函数有极小值。
故。
从而
即，
证：
考虑上的函数，则
，令得
∴在处取最大值，且在处取最小值
即。
左端
右端
∴
解之或。
令，且
当最小，即最小，由知，在的上方，其间所夹面积最小，则是的切线，而，设切点为，则切线，故，。
于是
令得
从而，
又，此时最小。
设，，则
∴
解得：
，，于是
（C）
设，则
令
于是，，
由已知得
由泰勒公式
其中，位于与之间。
两边积分得：
令，则
，。
证明：
当时，由，知是严格增及严格凹的，从而及
4．设函数在上连续，在上存在且可积，，试证（）。
因为在上可积，故有
而，
于是
假设，
由已知，，得
故
从而
因为在连续，则或。
从而或，这与矛盾。
故。
令，则，显然
于是。
因在上连续可微，则在和上均满足拉格朗日定理条件，设，则有
令，则
于是
（1）
∴为奇函数。
（2）
由于是奇函数且单调增加，当时，，，故，，即在上单调减少。
记，则
由可微，于是
解之（为任意常数）
因
所以。
，则，故切线方程为：
，
两边对求导
即
令，即得。
方程两边对求导，得
从而
（）
设为的原函数，则
左边
右边。
等式两边对求导，得
令得
将代入得：
则
，，
由于递减，
故
即。
在第一个积分中，令，则
而
故
由积分中值定理，存在使
即
故是方程的一个根。
（1）
（2），
又在连续，由介值定理知在内至少有一根。
又，则单增，从而在内至多有一根。
故在内有且仅有一个根。
令，，则
（∵以为周期）
令
由于时，，故
故由零点定理知，存在一点，使得
又
令，则
故
∵，在严格单增
则，从而
即
由假设对，可知在上满足微分中值定理，则有
，
又因，
于是。
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