大学高数试卷及答案Word格式文档下载.doc
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2、考试时间120分钟。
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
得分
评阅人
一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的选项填在题后的括号内。
每小题3分,共21分)
1.下列各式正确的是:
()
A.B.C.D.
2.当时,与等价的无穷小量是:
()
A.B.C.D.
3.设在的某邻域有定义,则它在该点处可导的一个充分条件是:
()
A.存在B.存在
C.存在D.存在
4.函数在区间上的最小值是:
()
A.0 B.没有C.2 D.
5.函数在区间上应用罗尔定理时,所得到的中值()
A.0 B.1C. D.2
6.设函数处处可导,那么:
()
A.B.C.D.
7.设为函数的极值点,则下列论述正确的是()
A.B.C.D.以上都不对
二、填空题(每小题3分,共21分)
1.极限=.
2.极限=.
3.设函数f(x)=在点x=2处连续,则.
4.函数的间断点为.
5.函数的单调减区间为.
6.设函数,则.
7.椭圆曲线在相应的点处的切线方程为.
三、求下列极限(每小题6分,共18分)
1.求极限
2.求极限
3.求极限
四、计算下列导数或微分(每小题分6,共18分)
1.设函数,求与.
2.设是由方程确定的隐函数,求.
3.计算函数的一阶导数.
五、(本题6分)求函数的凹凸区间与拐点.
六、(本题6分)
设函数在上二阶可导,函数,试确定常数的值,使得函数在点二阶可导.
七、(本题5分)证明:
当时,.
八、(本题5分)设函数在上连续,在内可导,且,.试证:
必存在一点,使得.
参考答案
一、单项选择题
DBDDACD
1.12.2;
3.7;
4.;
5.;
6.;
7.
解:
原式=………3分
………4分
………6分
解:
原式=………2分
=………5分
原式=………2分
=………4分
=………6分
………4分
………6分
方程两边同时对变量求导并化简可得:
从而得到:
,………2分
上式继续对变量求导可得:
………4分
化简上式并带入可得:
………6分
两边同时取对数得:
………(2分)
两边同时对求导得:
………(5分)
从而得 ………(6分)
五、(本题6分)求函数的凹凸区间与拐点.
函数的定义域为,,
,不存在。
………2分
可知函数在和上是凹的,在内是凸的,拐点为.………6分
因为在点二阶可导,所以,在点一阶可导、连续。
由在点连续可得:
,从而……2分
由在点可导可得:
,从而………4分
从而可知:
又由在点二阶可导可得:
,从而………6分
证明:
令,则……1分
因为,从而在时单调递增,………3分
从而,从而………5分
八、(本题5分)
设函数在上连续,在内可导,且,.试证:
因为函数在上连续,从而函数在上连续,
故在上有最大值和最小值,分别设为,
于是,………2分
从而由介值定理可得,至少存在一点,
使得,………3分
可验证在上满足罗尔定理的条件,
故存在,使得.………5分
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