上海市闵行区七宝中学高三下学期适应性考试三模理数学试题附带超详细答案解析Word文件下载.docx

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一、单选题

1．若直线的一个法向量，则直线的一个方向向量和倾斜角分别为（）

A．，B．，

C．，D．，

2．在中，“”是“为钝角三角形”的（）

A．充分必要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

3．定义域是一切实数的函数，其图象是连续不断的，且存在常数（）使得对任意实数都成立，则称是一个“-伴随函数”，有下列关于“-伴随函数”的结论：

①是常数函数唯一一个“-伴随函数”；

②“-伴随函数”至少有一个零点；

③是一个“-伴随函数”；

其中正确结论的个数（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4．设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入，则这个数据中，下列说法正确的是（）

A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变

B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大

C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变

D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题

5．函数的定义域为____.

6．已知，，则_____.

7．在的展开式中项的系数为______________.

8．已知地球的半径为，在北纬东经有一座城市，在北纬西经有一座城市，则坐飞机从城市飞到的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）

9．已知一随机变量的分布列如下表，则随机变量的方差______________.

4

8

10．在极坐标系中，点，，为曲线的对称中心，则的面积等于______________．

11．高三

（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）

12．在复数范围内，若方程的一个根为，则______________.

13．将的图象按平移，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为______________.

14．已知是定义在上的增函数，且的图像关于点对称．若实数满足不等式，则的取值范围是_____．

15．函数对任意都有，则称为在区间上的可控函数，区间称为函数的“可控”区间，写出函数的一个“可控”区间是________.

16．椭圆（）的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是__________．

17．用符号表示小于的最大整数，如，有下列命题：

①若函数，则的值域为；

②若，则方程有三个根；

③若数列是等差数列，则数列也是等差数列；

④若，则的概率为．

则下列正确命题的序号是______________．

18．设（），且为常数，若存在一公差大于0的等差数列（），使得为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组、、的值__________．（答案不唯一，一组即可）

三、解答题

19．在直三棱柱中，，，且异面直线与所成的角等于，设；

（1）求的值；

（2）求直线到平面的距离.

20．某海域有两个岛屿，岛在岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发出过鱼群．以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.

（1）求曲线的标准方程；

（2）某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？

21．设函数

（1）设，，证明：

在区间内存在唯一的零点；

（2）设，若对任意，有，求的取值范围．

22．一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程.

（1）若点为抛物线（）准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明.

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出（不需证明）；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式.

23．已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：

对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．

参考答案

1．B

【解析】

【分析】

先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线的倾斜角．

【详解】

解：

直线的一个法向量为，

直线的一个方向向量为，

设直线的倾斜角为，则有，

又，∴，

故选：

B．

【点睛】

本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义，属于基础题．

2．A

由题设条件可知中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分性成立;

反之,若三角形是钝角三角形,则的积必为负数,即是必要性成立,

“”是“为钝角三角形”的充分必要条件，应选答案A．

3．B

①设是一个“伴随函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“伴随函数”；

②令，可得，若，显然有实数根；

若，，由此可得结论；

③用反证法，假设是一个“伴随函数”，则，从而有，此式无解．

①设是一个“伴随函数”，则，当时，可以取遍实数集，因此不是唯一一个常值“伴随函数”，故①不正确；

②令，得，所以，

若，显然有实数根；

若，．

又因为的函数图象是连续不断，所以在上必有实数根．因此任意的“伴随函数”必有根，即任意“伴随函数”至少有一个零点，故②正确；

③用反证法，假设是一个“伴随函数”，则，即对任意实数成立，所以，而此式无解，所以不是一个“伴随函数”，故③不正确；

故正确结论的个数1个，

B．

本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解是伴随函数的定义，是解答本题的关键，属于中档题．

4．B

∵数据x1，x2，x3，…，xn是郑州普通职工n（n⩾3,n∈N∗）个人的年收入，

而xn+1为世界首富的年收入

则xn+1会远大于x1，x2，x3，…，xn，

故这n+1个数据中，年收入平均数大大增大，

但中位数可能不变，也可能稍微变大，

但由于数据的集中程序也受到xn+1比较大的影响，而更加离散，则方差变大.

故选B

5．

由题意得，解得定义域为．

6．

试题分析：

因,而,故,所以．

考点：

集合的交集运算．

7．

在的展开式中项的系数为,项的系数为；

故展开式中的项的系数为．

二项式定理及通项公式的运用．

8．

已知纬圆所在的纬度为,则纬圆的半径为,

三角形是等腰直角三角形，纬圆周的两点的弦长为,

三角形是正三角形，

所以点所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为,

则球面距离即大圆的弧长为．

坐飞机从城市飞到的最短距离是．

9．

因为,所以．

数学期望和方差的计算．

10．

将点，化为直角坐标为，，将极坐标方程化为直角坐标方程为，由题意可得，所以的面积为．

11．

从名学生中选名的种数为,其中无女生的种数为,所以至少含有一个女生的概率为．

古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．

12．

由于方程的两个根为,所以的模为．

复数的模及计算．

13．

因为,所以按向量平移后所得的函数为,由题设可得,即,也即,所以的最小值为．

行列式的计算及三角函数的图象和性质．

14．

根据函数的图像关于点对称，得到，从而将转化为，利用函数的单调性得到，再利用圆的性质即可得到的取值范围.

因为函数的图像关于点对称，

所以.

因为，

.

又因为函数是定义在上的增函数，

整理得：

因为表示以为圆心，的圆上或圆内的点到距离的平方.

所以，

所以的取值范围是.

故答案为：

本题主要考查函数的对称性和单调性，同时考查了圆的性质，利用的几何意义为解题的关键，属于难题.

15．的子集都可以

由,由可控函数的定义可得,即在上恒成立,即运算即可得解.

解:

因为,所以,

由可控函数的定义可得在上恒成立,

即在上恒成立,

又

即即

则区间可为,

即函数的一个“可控”区间是,

故答案为:

.

【点晴】

本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力．结论的开放性和不确定性是本题的一大特色．解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案．解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间．

16．

先画出图象，结合图象得到的周长最大时对应的直线所在位置，即可求出结论．

设椭圆的右焦点为，连接，如图：

由椭圆的定义可知，的周长为

，

∵，

∴，当且仅当过点时取等号，

∴，即直线经过椭圆的右焦点时的周长最大，

此时，

把代入得，则，

又，

∴的面积，

．

本题主要考查椭圆的几何性质，考查数形结合思想，属于基础题．

17．①②④

由定义,所以其值域为,故①正确；

由于,因此可求得,所以②正确；

对于③,如取数列成等差数列,但不成等差数列；

对于④很容易验证是正确的．故应填①②④．

函数的性质及分析问题解决问题的能力．

【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力．定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色．解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断．对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题．运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法．

18．．

指数幂可构成等比数列，可取，函数，取数列，则，，成等比数列．

取，函数，

取数列，则，，成等比数列，

满足题设，

本题主要考查数列与函数的综合，解题时要认真审题，注意合理地运用数列的性质，合理地进行等价转化，属于中档题．

19．

（1）；

（2）．

（1）由题意可得：

就是异面直线与所成的角，即，根据线段的长度关系可得：

为等边三角形，进而可求得答案；

（2）由平面得，直线到平面的距离等于点到平面的距离，再根据求到平面