第5章特征值问题计算方法Word文档下载推荐.docx
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同理：
因为
（充分大！
！
）
这说明，为特征值所对应的特征向量的近似向量。
（为对应于的特征向量。
为的一个倍数）
同样
这表明和近似线性相关。
其中比值为一常数，
即求主特征值。
具体计算时可用
上述方法求得的主特征值，以及对应的特征向量，
主要运算是的乘幂，与初始向量的乘积，因此称为乘幂法。
实际计算中，不能采用上述方法。
因为。
，当时将趋于0。
，当时将趋于。
因此必须修正，即加上规范化的步骤。
对，记
，其中。
幂迭代法计算公式为
任取，
其中最大的分量为1。
可以看到
可以看出，与仅差一个常数倍。
而最大分量为1，所以有
考虑当，时
。
反幂法
如果非奇异存在，并且的特征值均不为零。
设的特征值满足
的特征值为并有：
的主特征值为，而且所对应于的特征向量仍为。
对应用幂法求主特征值，就是求得模最小的特征值。
用代替作幂法计算，称为反幂法。
为简单起见，仅考虑
任给初始向量，可作如下迭代
可以得出
实际计算中，不求逆矩阵。
而是解方程组
一般先将作LU分解，必要时做到主元LU分解。
注意到，若参数，
则的特征值为。
如果接近于的一个特征值，且有（*）
则对进行逆幂迭代。
任取
得到
这样算出称为原点位移的逆幂迭代法。
所以要参数满足（*），收敛很快。
例子：
用反幂法求矩阵，
按模最小的特征值及其特征向量。
取
1
1.0000
2
4.5652
3
0.9877
4
0.8245
5
0.8134
迭代5次：
2正交换及其应用
（I）Householder变换
Householder变换并不是直接求特征值的方法，
在此仅是一个中间过程，即利用这个变化可以把
对称矩阵变为对称三对角阵。
把一般实阵转化为
上Hessenberg阵，也可以用来收缩求次大特征值。
称为上Hessenberg阵，如果当时有；
定义：
设，称
成为初等反射阵，也称Householder阵。
任给，
那么
定理：
是Householder阵是对称，正交，对合阵。
证明：
对称
正交：
设，则存在一个Householder阵
，使得。
令
构造Householder阵：
注意到：
利用条件：
推论：
设，并且
则存在一个Householder阵
使得，其中
利用定理
附：
推论中可取号，一般取一个确定符号。
确定方法如下：
设
如果，异号，那么计算时有效数字可能损失。
故一般取和具有相同符号，即取
计算方法：
已知非零的维向量，本算法算出，和，
使得
的分量冲掉的那些分量。
1）
2）
3）
在计算时，可能发生上溢或者下溢，为避免溢出，可将规范化。
已知：
1.
2.
3.
4.
5.
6.
（II）用Householder变换化实矩阵为上Hessenberg阵设
其中为列向量，为行向量。
第一步：
可设，否则不进行约化
利用推论，选取Householder阵，使得
其中
令，其中
对，仿上作，如此一直进行步，可以得到：
如果，则存在正交阵，使得
（上Hessenberg阵）。
是Householder阵形成的，正交，对合，
，，特征值相同。
（III）Givens变换（初等等旋转变换）
在中，使向量按顺时针方向旋转角后变为，则有
为正交阵
在维Euclid空间中，矩阵
成为平面旋转矩阵，或称Givens矩阵（变换）。
利用矩阵与向量的乘积有：
对任
由此可以得出。
引理1：
设，其中不全为零，则可以选取一个Givens阵，使得
其中：
利用前面计算有：
选取适当，使得
事实上，。
为使上式成立，只需取
这样就有：
设，非奇异，则存在正交阵，使得
由于非奇异，故的第一列一定存在，可设。
利用引理1，存在Givens矩阵使
如果上述存在，那么。
广义来说，把看成Givens矩阵。
对同样，左乘Givens矩阵，使得
重复上述过程，可把化成上三角阵。
上述过程也可用Housholder阵来完成。
（IV）矩阵的分解
设，非奇异，则存在正交阵和上三角阵，使得
若的对角元都为正时，分解为唯一的。
前面已有
为上三角阵，为正交阵。
再证唯一性
其中为正交阵，为上三角阵，并且对角线元素为正。
为上三角阵，也为上三角阵，为上三角阵，也为上三角阵。
可以看出：
为下三角阵，为上三角阵，从而为对角阵。
不妨设
由于是正交阵，。
又因为的对角线元素都为正。
（事实上，。
即
设为非奇异阵，由为正交阵，为上三角阵
为正交阵。
为上三角阵，其对角线元
3方法
（I）基本方法
，用Householder变换或者Givens变换。
为正交阵，为上三角阵。
可以假定的对角元为正，
那么的分解是唯一的。
令，由，
与有相同的特征值。
对于还可以做分解，重复上述过程。
由此得矩阵序列，形成的方法称方法。
方法有如下收敛性定理。
设，其特征值满足
相应的特征向量为以为列的方阵记为
如果可分解为，其中为单位下三角阵，
为上三角阵，那么方法序列，当时，
严格下三角部分元素收敛到零。
对角线元素的极限为：
讨论方法计算过程：
现实一步迭代需要做一次分解，一次矩阵乘法。
当是一般矩阵时计算量很大。
实际计算时，为了节约计算量，
总是先将原矩阵经相似变换（Householder变换）先约化到
上Hessenberg阵，再对应用算法，在计算过程中，
保持上Hessenberg形式不变。
设为非奇异上Hessenberg阵，
并设为由的方法得到，即，
那么也是上Hessenberg阵。
事实上，是上Hessenberg阵。
（一个上Hessenberg阵与一个上三角阵乘积）
也上Hessenberg阵。
（II）带原点位移的迭代算法如下：
有时方法收敛很慢，为加速收敛可以类似干幂法
进行原点位移方法。
在第步的原点位移为，
那么迭代算法如下：
具体运算过程（算法实现）
1.用正交变换化为上三角阵。
为一系列Givens阵的乘积。
2.原点位移选取
由于为上Hessenberg阵，故最后一行仅有两个非零元素
；
若方法收敛，则当充分大时，就很小，
因而就接近于的一个特征值。
这样，根据反幂法所得的经验，
可以选取位移。
可以证明：
若很小，那么经一次原点位移迭代后，有
收敛判别准则：
取
或者
上述方法取第1位移量。
（III）第2位移量
取为的右下角二阶子阵（或称尾部2×
2子矩阵）
的两个特征值中靠近的那一个，此称为第二位移量。
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