初中数学竞赛辅导资料(25)Word文件下载.doc
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2.十进制的n位数(n为正整数),记作:
10n-1a1+10n-2a2+10n-3+…+102an-2+10an-1+an
其中最高位a1≠0,即0<
a1≤9,其它是0≤a1,a2,a3…an≤9
3.各位上的数字相同的正整数记法:
例如∵999=1000-1=103-1,9999=104-1,∴=10n-1
=,=,=
4解答有关十进制数的问题,常遇到所列方程,少于未知数的个数,这时需要根据各位上的数字都是表示0到9的整数,这一性质进行讨论。
乙例题
例1.一个六位数的最高位是1,若把1移作个位数,其余各数的大小和顺序都不变,则所得的新六位数恰好是原数的3倍,求原六位数。
解:
设原六位数1右边的五位数为x,那么原六位数可记作1×
105+x,新六位数为10x+1,
根据题意,得 10x+1=3(1×
105+x) 7x=299999x=42857
∴原六位数是142857
例2.设n为正整数,计算×
+1
原数=(10 n–1)×
(10 n–1)+1×
10n+10n-1
=102n-2×
10n+1+10n+10n-1
=102n
例3.试证明12,1122,111222,……,这些数都是两个相邻的正整数的积
证明:
12=3×
4, 1122=33×
34,111222=333×
334
注意到333×
334=333×
(333+1)=×
(+1)
由经验归纳法,得
=×
10n+
=(+)
=(
上述结论证明了各数都是两个相邻的正整数的积
例4.试证明:
任何一个四位正整数,如果四个数字和是9的倍数,那么这个四位数必能被9整除。
并把它推广到n位正整数,也有同样的结论。
设一个四位数为103a+102b+10c+d,根据题意得
a+b+c+d=9k(k为正整数),∴d=9k-a-b-c,代入原四位数,得
103a+102b+10c+9k-a-b-c=(103-1)a+(102-1)b+9c+9k
=9(111a+11b+c+k)
∵111a+11b+c+k是整数,
∴四位数103a+102b+10c+d,能9被整除
推广到n位正整数:
n位正整数记作10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+an
(1)
∵a1+a2+…+an-1+an=9k(k是正整数)
∴an=9k-a1-a2-…-an-1 代入
(1)得
原数=10n-1a1+10n-2a2+…+10an-1+9k-a1-a2-…-an-1
=(10n-1-1)a1+(10n-2-1)a2+…+9an-1+9k
∵10n-1-1,10n-2-1,…10-1分别表示,,…9
∴原数=9(a1+a2+…+an+k)
∴这个n位正整数必能被9整除
例5.已知:
有一个三位数除以11,其商是这个三位数的三个数字和。
求:
这个三位数。
设这个三位数为102a+10b+c其中0<a≤9,0≤b,c≤9
=9a+b+且-8≤a-b+c≤18
∵它能被11整除,∴a-b+c只能是11或0。
①当a-b+c=11时,商是9a+b+1,
根据题意得9a+b+1=a+b+c,c=8a+1a只能是1,c=9,
b=a+c-11=-1不合题意
②当a-b+c=0时,商是9a+b
9a+b=a+b+c且a-b+c=11
解得 答这个数是198
例6.一个正整数十位上的数字比个位数大2,将这个数的各位数字的顺序颠倒过来,再加上原数,其和是8877,求这个正整数。
∵顺序颠倒过来后,两个数的和是8877,∴可知它们都是四位数
设原四位数的千位、百位、十位上的数字分别为a,b,c则个位数是c-2,
根据两个数的和是8877试用列竖式讨论答案
abc(c-2)从个位看(c-2)+a=7或17
+)(c-2)cba从千位看a+(c-2)=8(没进入万位)
8877可知(c-2)+a=7即c+a=9
(1)从十位上看b+c=7或17
从百位上看c+b=8(进入千位)
可知c+b=17
(2)
(2)+
(1)得b-a=8
∵0<
a≤90≤b≤9∴b=9
∴a=1,b=9,c=8,c-2=6答这个正整数是1986
丙练习25
1.设a是个两位数,b是三位数。
当a接在b的左边时,这个五位数应记作_____,当a接在b的右边时,这个五位数应记作_____。
2.有大小两个两位数。
大数的2倍与小数的3倍的和是72。
在大数的右边写上一个0再接着写小数,得到第一个五位数;
在小数的右边写上大数再接着写个0,得到第二个五位数。
已知第一个五位数除以第二个五位数得商2,余数590。
求这两个两位数。
3.计算:
1987×
19861986-1986×
19871987
4.一个22位数,个位数字是7,当用7去乘这个22位数时,其积也是22位数,并且恰好是将这个数的个位数字7移到最高位,其余各数的大小和顺序都不变。
求原22位数。
5.试证明:
11-2, 1111-22, -,各数都能写成某个正整数的平方。
(即证明各数都是完全平方数)
6.一个两位数的两个数字对调后,所得新两位数与原两位数的比是4∶7。
求符合条件的所有两位数。
7.已知一个六位数乘以6,仍是六位数,且有×
6=
求原六位数
8.已知四位数除以9得四位数,求原四位数。
9.一个五位正奇数x,将x中的所有2都 换成5,并把所有5都换成2,其余各数不变,得一个新五位正奇数,记作y,若x,yI满足等式:
y=2(x+1),那么x=________(1987年全国初中数学联赛题)
10.已知存在正整数n能使数被1987整除,
求证:
p=能被1987整除
(1987年全国初中数学联赛题)
11.一个三位数被11整除,其商是这个三位数的三个数字的平方和。
求符合条件的所有三位数。
(1988年全国初中数学联赛题)
12.一个三位数,它的十位上数字比百位上数字小2,而个位数比百位上数字的算术平方根大7。
求这个三位数。
13.求证:
是一个合数。
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