第二十三届全国中学生物理竞赛初赛试题及答案Word格式.doc
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1.老爷爷的眼睛是老花眼.
(i)一物体P放在明视距离处,老爷爷看不清楚.试在示意图1中画出此时P通过眼睛成像的光路示意图.
(ii)戴了一副300度的老花镜后,老爷爷就能看清楚放在明视距离处的物体P,试在示意图2中画出P通过老花镜和眼睛成像的光路示意图.
(iii)300度的老花镜的焦距f=____m.
2.有两个凸透镜,它们的焦距分别为f1和f2,还有两个凹透镜,它们的焦距分别为f3和f4.已知,f1>f2>|f3|>|f4|.如果要从这四个透镜中选取两个透镜,组成一架最简单的单筒望远镜,要求能看到放大倍数尽可能大的正立的像,则应选焦距为____的透镜作为物镜,应选焦距为____的透镜作为目镜.
三、(20分,第1小题12分,第2小题8分)
1.如图所示,电荷量为q1的正点电荷固定在坐标原点O处,电荷量为q2的正点电荷固定在x轴上,两电荷相距l.已知q2=2q1.
(i)求在x轴上场强为零的P点的坐标.
(ii)若把一电荷量为q0的点电荷放在P点,试讨论它的稳定性(只考虑q0被限制在沿x轴运动和被限制在沿垂直于x轴方向运动这两种情况).
2.有一静电场,其电势U随坐标x的改变而变化,变化的图线如图1所示.试在图2中画出该静电场的场强E随x变化的图线(设场强沿x轴正方向时取正值,场强沿x轴负方向时取负值)
四、(20分)一根长为L(以厘米为单位)的粗细均匀的、可弯曲的细管,一端封闭,一端开口,处在大气中,大气的压强与H厘米高的水银柱产生的压强相等,已知管长L>H.现把细管弯成L形,如图所示.假定细管被弯曲时,管长和管的内径都不发生变化.可以把水银从管口徐徐注入细管而不让细管中的气体泄出.当细管弯成L形时,以l表示其竖直段的长度,问l取值满足什么条件时,注入细管的水银量为最大值?
给出你的论证并求出水银量的最大值(用水银柱的长度表示).
五、(20分)一对正、负电子可形成一种寿命比较短的称为电子偶素的新粒子.电子偶素中的正电子与负电子都以速率v绕它们连线的中点做圆周运动.假定玻尔关于氢原子的理论可用于电子偶素,电子的质量m、速率v和正、负电子间的距离r的乘积也满足量子化条件.即式中n称为量子数,可取整数值1,2,3,…;
h为普朗克常量.试求电子偶素处在各定态时的r和能量以及第一激发态与基态能量之差.
六、(25分)如图所示,两个金属轮A1、A2,可绕通过各自中心并与轮面垂直的固定的光滑金属轴O1和O2转动,O1和O2相互平行,水平放置.每个金属轮由四根金属辐条和金属环组成,A1轮的辐条长为a1、电阻为R1,A2轮的辐条长为a2、电阻为R2,连接辐条的金属环的宽度与电阻都可以忽略.半径为a0的绝缘圆盘D与A1同轴且固连在一起.一轻细绳的一端固定在D边缘上的某点,绳在D上绕足够匝数后,悬挂一质量为m的重物P.当P下落时,通过细绳带动D和A1绕O1轴转动.转动过程中,A1、A2保持接触,无相对滑动;
两轮与各自细轴之间保持良好的电接触;
两细轴通过导线与一阻值为R的电阻相连.除R和A1、A2两轮中辐条的电阻外,所有金属的电阻都不计.整个装置处在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向与转轴平行.现将P释放,试求P匀速下落时的速度.
七、(25分)图示为一固定不动的绝缘的圆筒形容器的横截面,其半径为R,圆筒的轴线在O处.圆筒内有匀强磁场,磁场方向与圆筒的轴线平行,磁感应强度为B.筒壁的H处开有小孔,整个装置处在真空中.现有一质量为m、电荷量为q的带电粒子P以某一初速度沿筒的半径方向从小孔射入圆筒,经与筒壁碰撞后又从小孔射出圆筒.设:
筒壁是光滑的,P与筒壁碰撞是弹性的,P与筒壁碰撞时其电荷量是不变的.若要使P与筒壁碰撞的次数最少,问:
1.P的速率应为多少?
2.P从进入圆筒到射出圆筒经历的时间为多少?
八、(25分)图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面,AB是水平的,截面的边长都是l.一根长为2l的柔软的轻细绳,一端固定在A点,另一端系一质量为m的小球,初始时,手持小球,将绳拉直,绕过B点使小球处于C点.现给小球一竖直向下的初速度v0,使小球与CB边无接触地向下运动,当,分别取下列两值时,小球将打到梁上的何处?
1.
2.
设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的.
九、(25分)从赤道上的C点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点N,要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体,R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时,其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量,G为引力常量.
1.假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示).
2.若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少?
3.试导出.
参考答案及评分标准
一、参考解答:
1.线剪断前,整个系统处于平衡状态.此时弹簧S1的弹力F1=(mA+mB+mC)g
(1)
弹簧S2的弹力F2=mCg
(2)
在线刚被剪断的时刻,各球尚未发生位移,弹簧的长度尚无变化,故F1、F2的大小尚未变化,但线的拉力消失.设此时球A、B、C的加速度的大小分别为aA、aB、aC,则有
F1-mAg=mAaA (3)
F2+mBg=mBaB (4)
F2-mCg=mCaC (5)
解以上有关各式得
,方向竖直向上 (6)
,方向竖直向下 (7)
aC=0 (8)
2.开始时,磁铁静止不动,表明每一条磁铁受到另一条磁铁的磁力与它受到板的静摩擦力平衡.
(i)从板突然竖直向下平移到停下,板和磁铁的运动经历了两个阶段.起初,板向下加速移动,板与磁铁有脱离接触的趋势,磁铁对板的正压力减小,并跟随板一起作加速度方向向下、速度向下的运动.在这过程中,由于磁铁对板的正压力减小,最大静摩擦力亦减小.向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.接着,磁铁和板一起作加速度方向向上、速度向下的运动,直到停在A′B′处.在这过程中,磁铁对板的正压力增大,最大静摩擦力亦增大,因两磁铁已碰在一起,磁力、接触处出现的弹力和可能存在的静摩擦力总是平衡的,两条磁铁吸在一起的状态不再改变.
(ii)从板突然竖直向上平移到停下,板和磁铁的运动也经历两个阶.起初,板和磁铁一起作加速度方向向上、速度向上的运动,在这过程中,正压力增大,最大静摩擦力亦增大,作用于每个磁铁的磁力与静摩擦力始终保持平衡,磁铁在水平方向不发生运动.接着,磁铁和板一起作加速度力减小,向下的加速度愈大,磁铁的正压力愈小,最大静摩擦力也愈小.当板的加速度大到某一数值时,最大静摩擦力减小到小于磁力,于是磁铁沿着平板相向运动并吸在一起.
评分标准:
(本题20分)
1.10分.
(1)、
(2)、(3)、(4)、(5)、(6)、(7)、(8)式各1分,aA、aB的方向各1分.
2.10分.(i)5分,(ii)5分.(必须正确说出两条形磁铁能吸引在一起的理由,才给这5分,否则不给分).
二、参考答案
(iii)
2.f1,f4.
1.12分.(i)4分,(ii)4分,(iii)4分.
2.8分.两个空格都填对,才给这8分,否则0分.
三、参考解答:
(i)通过对点电荷场强方向的分析,场强为零的P点只可能位于两点电荷之间.设P点的坐标为x0,则有
(1)
已知q2=2q1
(2)
由
(1)、
(2)两式解得
(3)
(ii)先考察点电荷q0被限制在沿x轴运动的情况.q1、q2两点电荷在P点处产生的场强的大小分别为
方向沿x轴正方向
方向沿x轴负方向
由于处合场强的方向沿x轴的正方向,即指向P点.
由以上的讨论可知,在x轴上,在P点的两侧,点电荷q1和q2产生的电场的合场强的方向都指向P点,带正电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点,所以当q0>0时,P点是q0的稳定平衡位置.带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都背离P点,所以当q0<0时,P点是q0的不稳定平衡位置.
再考虑q0被限制在沿垂直于x轴的方向运动的情况.沿垂直于x轴的方向,在P点两侧附近,点电荷q1和q2产生的电场的合场强沿垂直x轴分量的方向都背离P点,因而带正电的点电荷在P点附近受到沿垂直x轴的分量的电场力都背离P点.所以,当q0>0时,P点是q0的不稳定平衡位置.带负电的点电荷在P点附近受到的电场力都指向P点,所以当q0<0时,P点是q0的稳定平衡位置.
1.12分.
(i)2分.
(ii)当q0被限制在沿x轴方向运动时,正确论证q0>0,P点是q0的稳定平衡位置,占3分;
正确论证q0<0,P点是q0的不稳定平衡位置,占3分.(未列公式,定性分析正确的同样给分)
当q0被限制在垂直于x轴的方向运动时,正确论证q0>0,P点是q0的不稳定平衡位置,占2分;
正确论证q0<0,P点是q0的稳定平衡位置,占2分.
2.8分.纵坐标标的数值或图线有错的都给0分.纵坐标的数值.图线与参考解答不同,正确的同样给分.
四、参考解答:
开始时竖直细管内空气柱长度为L,压强为H(以cmHg为单位),注入少量水银后,气柱将因水银柱压力而缩短.当管中水银柱长度为x时,管内空气压强p=(H+x),根据玻意耳定律,此时空气柱长度
(1)
空气柱上表面与管口的距离
(2)
开始时x很小,由于L>H,故即水银柱上表面低于管口,可继续注入水银,直至d=x(即水银柱上表面与管口相平)时为止.何时水银柱表面与管口相平,可分下面两种情况讨论.
1.水银柱表面与管口相平时,水银柱未进入水平管
此时水银柱的长度x≤l,由玻意耳定律有
(H+x)(L-x)=HL (3)
由(3)式可得x=L-H (4)
由此可知,当l≥L-H时,注入的水银柱的长度x的最大值xmax=L-H (5)
2.水银柱表面与管口相平时,一部分水银进入水平管
此时注入水银柱的长度x>l,由玻意耳定律有
(H+l)(L-x)=HL (6)
(7)
(8)
由(8)式得l<L-H,或L>H+l (9)
(10)
即当l<L-H时,注入水银柱的最大长度x<xmax.
由上讨论表明,当l≥L-H时,可注入的水银量为最大,这时水银柱的长度为xmax,即(5)式.
正确论证l≥L-H时,可注入的水银量最大,占13分.求出最大水银量占7分.若论