二次根式及计算Word文件下载.doc

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二次根式的计算。

一、二次根式的基本概念：

1.定义

一般地，形如（a≥0）的代数式叫作二次根式。

“”称为二次根号。

（当a≥0时，表示a的算术平方根）

【要点诠释】

（1）形如（a≥0）的式子也叫作二次根式；

（2）二次根式中的被开方数，可以是数，也可以是单项式、多项式、分式，但必须满足≥0。

2.二次根式的性质

①非负性，表示的算术平方根，因此（≥0）是一个非负数；

②＝（≥0）；

③==；

④积的算术平方根的性质：

积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积；

=·

（a≥0，b≥0）

⑤商的算术平方根的性质：

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方

根。

=（a≥0，b>

0）

3.最简二次根式

必须同时满足下列条件

①被开方数中不含开方开得尽的因数或因式；

②被开方数中不含分母；

③分母中不含根式。

【规律总结】在判断最简二次根式的过程中要注意：

①在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

②在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式。

【随堂练习】

（长宁区二模）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A. B. C. D.

答案：

A.==3，可化简；

C.= =，可化简；

D.=|a|，可化简；

因此只有B是最简二次根式，故选B。

思路分析：

判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。

4.同类二次根式：

二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。

二、二次根式的计算：

1.二次根式的加减法：

先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式。

2.二次根式的乘除法：

①二次根式的乘法法则：

两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

·

＝（a≥0，b≥0）

②二次根式的除法法则：

两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。

（1）不是同类二次根式的不能合并，如：

≠；

（2）进行乘法运算时，若结果是一个完全平方数，则应利用进行化简，即将根号内能够开得尽方的数移到根号外；

（3）进行除法运算时，若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数，应运用积的算术平方根的性质将其进行化简；

（4）在求含二次根式的代数式的值时，常用整体思想来计算。

（白银）下列计算错误的是（　　）

A. B. C. D.

B

例题1（巴中）要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）

A.m＞－1 B.m≥－1 C.m＞－1且m≠1 D.m≥－1且m≠1

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围。

根据题意得：

m+1≥0,m−1≠0，解得：

m≥－1且m≠1。

故选D。

技巧点拨：

本题考查的知识点为：

分式有意义的条件，分母不为0；

二次根式的被开方数是非负数。

例题2（吉林）若a＜＜b，且a，b为连续正整数，则b2－a2=。

因为32＜13＜42，所以3＜＜4，求得a、b的数值，进一步求得问题的答案即可。

∵32＜13＜42，∴3＜＜4，即a=3，b=4，∴b2－a2=7。

故答案为7。

此题考查无理数的估算。

利用平方估算出根号下的数值的取值，进一步得出无理数的取值范围，是解决这一类问题的常用方法。

例题3（荆门）

（1）计算：

×

－4×

（1－）0；

（2）先化简，再求值：

（+）÷

，其中a，b满足+|b－|=0。

（1）根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=－4×

1=2－，然后合并即可；

（2）先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算，再计算括号内的运算，然后约分得到原式=，再根据非负数的性质得到a+1=0，b－=0，解得a=－1，b=，然后把a和b的值代入计算即可。

解：

（1）原式=－4×

1=2－=；

（2）原式=[－]•

=（－]•=•

=，

∵+|b－|=0，∴a+1=0，b－=0，解得a=－1，b=，

当a=－1，b=时，原式=－=－。

本题考查了二次根式的混合运算：

先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式。

也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值。

【易错警示】

一、考虑问题不全面

如：

代数式中，的取值范围是______。

易错点：

根据题意，得≥0，解得≥2，故填≥2。

分析：

整体观察式子的特点，存在分母，应满足分母不为0的条件；

又存在二次根式，应满足被开方数为非负数。

错解只注意被开方数的非负性，而忽略了分式中分母不为0的条件。

正解：

根据题意，得＞0，解得＞2，故填＞2。

二、理解性质出错

求的值。

＝－3。

表示的算术平方根，应为正数。

错解由于对二次根式的性质理解不透而犯错。

＝＝3。

三、忽略运算顺序

计算。

原式＝。

由于乘除是同一级运算，应按照从左到右的顺序进行。

四、对最简二次根式判断不准

下列各式中，是最简二次根式的是（）

A. B. C. D.

选C。

最简二次根式的被开方数中既不含开得尽方的因式或因数，也不含分母，满足条件的只有B。

错解只看表面形式，不求甚解，C中被开方数是小数形式，化为分数后，可继续化简。

选B。

（答题时间：

30分钟）

1.在式子，，，中，x可以取2和3的是（　　）

A. B. C. D.

2.设n为正整数，且n＜＜n+1，则n的值为（　　）

A.5 B.6 C.7 D.8

3.y=++3，则xy=（　　）

A.－15 B.－9 C.9 D.15

4.已知a、b、c是△ABC三边的长，则+|a+b－c|的值为（　　）

A.2a B.2b C.2c D.2（a一c）

5.（德州）若y=－2，则（x+y）y=。

6.把（2－x）根号外的因式移到根号内，得。

7.计算：

（－1）（+1）－（－）－2+|1－|－（π－2）0+。

8.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2=（1+）2。

善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn。

∴a=m2+2n2，b=2mn。

这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：

a=__________，b=___________；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：

____+____=（__+__）；

（3）若a+4=（m+n）2，且a、m、n均为正整数，求a的值。

1.C解析：

A.的分母不可以为0，即x－2≠0，解得：

x≠2，故A错误；

B.的分母不可以为0，即x－3≠0，解得：

x≠3，故B错误；

C.被开方数大于等于0，即x－2≥0，解得：

x≥2，则x可以取2和3，故C正确；

D.被开方数大于等于0，即x－3≥0，解得：

x≥3，x不能取2，故D错误。

故选C。

2.D解析：

∵＜＜，∴8＜＜9，

∵n＜＜n+1，∴n=8，故选D。

3.D解析：

∵y=++3，∴x－5≥且15－3x≥0，∴x=5，

∴y=0+0+3=3，∴xy=5×

3=15。

4.B解析：

∵三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，

∴a－b－c＜0，a+b－c＞0

∴+|a+b－c|=b+c－a+a+b－c=2b。

故选B。

5.解析：

由题意得，x－4≥0且4－x≥0，解得x≥4且x≤4，

∴x=4，y=－2，∴（x+y）y=（4－2）－2=。

故答案为。

6.－解析：

∵有意义，∴x－2＞0，即x＞2，∴2－x＜0，

∴原式=－=－。

7.解：

原式=5－1－9+－1－1+2=－7+3。

8.解：

（1）∵a+b=（m+n）2，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn。

故答案为m2+3n2，2mn。

（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2。

故答案为4、2、1、1。

（3）由题意得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n为正整数，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×

12=7，或a=12+3×

22=13。

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