届高考数学总复习第67讲变量间的相关关系统计案例文档格式.docx
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（1）分类变量
变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．
（2）2×
2列联表
列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表（称为2×
2列联表）为
y1
y2
总计
x1
a
b
a＋b
x2
c
d
c＋d
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
（3）独立性检验
利用随机变量K2（也可表示为χ2）的观测值k＝（其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量）来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
1．回归直线方程＝x＋必过样本点的中心（，），这个结论既是检验所求回归直线方程是否准确的依据，也是求参数的一个依据．
2．根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大．
3．根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值．
一、思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×
”）
（1）“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系．（ ）
（2）只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．（ ）
（3）回归直线方程＝x＋至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点．（ ）
（4）若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越小.（ ）
[答案]
（1）√
（2）√ （3）×
（4）×
二、教材改编
1．下面是2×
2列联表：
则表中a，b的值分别为（ ）
合计
21
73
22
25
47
46
120
A.94,72 B．52,50
C．52,74D．74,52
C [∵a＋21＝73，∴a＝52.又a＋22＝b，∴b＝74.]
2．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A.＝0.4x＋2.3B.＝2x－2.4
C.＝－2x＋9.5D.＝－0.3x＋4.4
A [因为变量x和y正相关，排除选项C，D.又样本中心（3,3.5）在回归直线上，排除B，选项A满足．]
3．已知x，y的取值如下表，从散点图可以看出y与x具有线性相关关系，且回归方程为＝0.95x＋，则＝.
x
1
3
4
y
2.2
4.3
4.8
6.7
2.6 [∵回归直线必过样本点的中心（，），又＝2，＝4.5，代入回归方程，得＝2.6.]
4．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
理科
文科
男
13
10
女
7
20
已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k＝≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为．
5% [K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.]
考点1 变量间的相关关系的判断
判定两个变量正、负相关性的方法
（1）画散点图：
点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；
点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．
（2）相关系数：
r>
0时，正相关；
r<
0时，负相关．
（3）线性回归方程中：
>
<
1.观察下列各图形，
① ② ③ ④
其中两个变量x，y具有相关关系的图是（ ）
A．①② B．①④ C．③④ D．②③
C [图形③具有正线性相关关系，图形④具有非线性相关关系，故选C.]
2．已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是（ ）
A．x与y正相关，x与z负相关
B．x与y正相关，x与z正相关
C．x与y负相关，x与z负相关
D．x与y负相关，x与z正相关
C [因为y＝－0.1x＋1的斜率小于0，故x与y负相关．因为y与z正相关，可设z＝y＋，＞0，则z＝y＋＝－0.1x＋＋，故x与z负相关．]
3．某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是（ ）
A．r4＜r2＜0＜r1＜r3
B．r2＜r4＜0＜r1＜r3
C．r2＜r4＜0＜r3＜r1
D．r4＜r2＜0＜r3＜r1
C [根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；
数据越集中在一条直线附近，说明相关性越强，
由题中数据可知：
（1）（3）为正相关，
（2）（4）为负相关；
故r1>
0，r3>
0；
r2<
0，r4＜0；
又
（1）与
（2）中散点图更接近于一条直线，故r1>
r3，r2<
r4,因此，r2<
r4<
0<
r3<
r1，故选C.]
（1）变量间的相关关系分线性相关关系和非线性相关关系，如T1.
（2）对相关系数r来说，|r|越接近于1，散点图越接近于一条直线，如T3.
考点2 线性回归分析
线性回归分析问题的类型及解题方法
（1）求回归方程
①利用公式，求出回归系数.
②利用回归直线过样本点的中心求系数.
（2）利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．
（3）利用回归直线判断正、负相关；
决定正相关还是负相关的是系数.
（4）回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．
下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图．
注：
年份代码1～7分别对应年份2012～2018.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．
附注：
参考数据：
＝9.32，＝40.17，＝0.55，≈2.646.
参考公式：
相关系数r＝
回归方程＝＋t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
[解]
（1）由折线图中数据和附注中参考数据得
所以r≈≈0.99.
因为y与t的相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．
（2）由＝≈1.331及
（1）得
＝－≈1.331－0.10×
4≈0.93.
所以y关于t的回归方程为
＝0.93＋0.10t.
将2020年对应的t＝9代入回归方程得
＝0.93＋0.10×
9＝1.83.
所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量约为1.83亿吨．
在计算时，应根据所给数据对公式进行合理变形，如
[教师备选例题]
下表是某学生在4月份开始进入冲刺复习至高考前的5次大型联考数学成绩（分）：
联考次数x（1≤x≤5，x∈N*）
2
5
数学分数y（0＜y≤150）
117
127
125
134
142
（1）请画出上表数据的散点图：
（2）①请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；
②若在4月份开始进入冲刺复习前，该生的数学分数最好为116分，并以此作为初始分数，利用上述回归方程预测高考的数学成绩，并以预测高考成绩作为最终成绩，求该生4月份后复习提高率．（复习提高率＝×
100%，分数取整数）．
附：
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
[解]
（1）散点图如图：
（2）①由题得，＝＝3，＝＝129，
＝55,52＝5×
32＝45,5＝5×
3×
129＝1935，
所以＝＝＝5.7，＝129－5.7×
3＝111.9，
故y关于x的线性回归方程为y＝5.7x＋111.9.
②由上述回归方程可得高考应该是第六次考试，故x＝6，则y＝5.7×
6＋111.9＝146.1≈146（分），
故净提高分为146－116＝30（分），所以该生的复习提高率为×
100%＝20%.
1.经过对中学生记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力x
6
8
识图能力y
由表中数据，求得线性回归方程为＝x＋，若某中学生的记忆能力为14，则该中学生的识图能力为（ ）
A．7 B．9.5 C．11.1 D．12
C [x的平均数＝（4＋6＋8＋10）＝＝7，
y的平均数＝（3＋5＋6＋8）＝＝＝5.5，
回归方程过点（，），即（7,5.5），
则5.5＝0.8×
7＋，得＝－0.1，则＝0.8x－0.1，
则当x＝14时，y＝0.8×
14－0.1＝11.2－0.1＝11.1，
即该中学生的识图能力为11.1，故选C.]
2．二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y（单位：
万元/辆）进行整理，得到如下数据：
使用年数x
售价y
12
6.4
4.4
z＝lny
3.00
2.48
2.08
1.86
1.48
1.10
z关于x的折线图，如图所示：
（1）由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）求y关于x的回归方程，并预测某辆A型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少．（，小数点后保留两位有效数字）
[解]
（1）由题意，知＝×
（2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4.5，＝×
（3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10）＝2，
∴r＝＝－≈－0.99，
∴z与x的相关系数大约为－0.99，说明z与x的线性相关程度很高．
（2）＝＝－≈－0.36，
∴＝－＝2＋0.36×
4.5＝3.62，
∴z与x的线性回归方程是＝－0.36x＋3.62，又z＝lny，∴y关于x的回归方程是＝e－0.36x＋3.62.
令x＝9，得＝e－0.36×
9＋3.62＝e
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