一阶倒立摆控制系统设计Word格式文档下载.docx
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设计（论文）的任务和基本要求，包括设计任务、查阅文献、方案设计、说明书（计算、图纸、撰写内容及规范等）、工作量等内容。
1．建立一阶倒立摆数学模型
2．做模型仿真试验
（1）给出Matlab仿真程序。
（2）给出仿真结果和响应曲线。
3．倒立摆系统的PID控制算法设计
设计PID控制器，使得当在小车上施加1N的脉冲信号时，闭环系统的响应指标为：
（1）稳定时间小于5秒
（2）稳态时摆杆与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度
并作PID控制算法的MATLAB仿真
4．倒立摆系统的最优控制算法设计
用状态空间法设计控制器，使得当在小车上施加0.2m的阶跃信号时，闭环系统的响应指标为：
（1）摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒
（2）的上升时间小于1秒
（3）的超调量小于20度（0.35弧度）
（4）稳态误差小于2%。
指导教师签字：
系（教研室）主任签字：
2013年3月5日
一、建立一阶倒立摆数学模型4
1.一阶倒立摆的微分方程模型4
2.一阶倒立摆的传递函数模型6
3.一阶倒立摆的状态空间模型7
二、一阶倒立摆matlab仿真9
三、倒立摆系统的PID控制算法设计13
四、倒立摆系统的最优控制算法设计23
五、总结28
六、参考文献29
1、建立一阶倒立摆数学模型
首先建立一阶倒立摆的物理模型。
在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
系统内部各相关参数定义如下：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
1.一阶倒立摆的微分方程模型
对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。
图1-2小车及摆杆受力图
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
（1-1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
（1-2）
即：
（1-3）
把这个等式代入式（1-1）中，就得到系统的第一个运动方程：
（1-4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：
（1-5）
（1-6）
力矩平衡方程如下：
（1-7）
由于所以等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（1-8）
设，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ<
<
1弧度，则可以进行近似处理：
。
用u代表被控对象的输入力F，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：
（1-9）
2.一阶倒立摆的传递函数模型
对式（1-9）进行拉普拉斯变换，得：
（2-1）
注意：
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：
（2-2）
或
（2-3）
如果令，则有：
（2-4）
（2-5）
把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：
整理后得到传递函数：
（2-6）
其中。
3.一阶倒立摆的状态空间模型
设系统状态空间方程为：
（3-1）
方程组（2-9）对解代数方程，得到解如下：
（3-1）
整理后得到系统状态空间方程：
（3-2）
（3-3）
摆杆的惯量为，代入（1-9）的第一个方程为：
得：
化简得：
（3-4）
设则有：
（3-5）
4.实际系统的传递函数与状态方程
实际系统的模型参数如下:
M小车质量0.5Kg
m摆杆质量0.2Kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m
I摆杆惯量0.006kg*m*m
代入上述参数可得系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
（4-1）
（4-2）
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
（4-3）
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
以外界作用力作为输入的系统状态方程：
（4-4）
以小车加速度为输入的系统状态方程：
（4-5）
2、一阶倒立摆matlab仿真
实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab仿真。
小车质量1.096Kg
摆杆质量0.109Kg
小车摩擦系数0.1N/m/sec
摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
摆杆惯量0.0034kg*m*m
采样时间0.005秒
1.传递函数法
Matlab程序如下：
M=1.096;
m=0.109;
b=0.1;
I=0.0034;
g=9.8;
L=0.25;
q=（M+m）*（I+m*L^2）-（m*L）^2;
num=[m*L/q00]
den=[1b*（I+m*L^2）/q-（M+m）*m*g*L/q-b*m*g*L/q0];
[r,p,k]=residue（num,den）;
s=p;
得到传递函数的分子：
num=
2.356600
以及传递函数分母:
den=
1.00000.0883-27.8285-2.30940
开环极点：
s=
-5.2780
5.2727
-0.0830
0
由此可知，系统传递函数的多项式表达式为：
（2-1）
系统的开环极点为（s）:
、、、，由于有一个开环极点位于平面的右半部，开环系统并不是稳定的。
系统的脉冲响应如下，由图也可见，系统并不稳定。
图2.1开环系统脉冲响应
2.状态空间法
状态空间法可以进行单输入多输出系统设计，因此在这个实验中，我们将尝试同时对摆杆角度和小车位置进行控制。
为了更具挑战性，给小车加一个阶跃输入信号。
我们用Matlab求出系统的状态空间方程各矩阵，并仿真系统的开环阶跃响应。
在这里给出一个state.m文件，执行这个文件，Matlab将会给出系统状态空间方程的A，B，C和D矩阵，并绘出在给定输入为一个0.2N的阶跃信号时系统的响应曲线。
state.m程序如下：
p=I*（M+m）+M*m*L^2;
>
A=[0100;
0-（I+m*L^2）*b/p（m^2*g*L^2）/p0;
0001;
0-（m*L*b）/pm*g*L*（M+m）/p0]
A=
01.000000
0-0.08830.62930
0001.0000
0-0.235727.82850
B=[0;
（I+m*L^2）/p;
0;
m*L/p]
B=
0.8832
2.3566
C=[1000;
0010]
D=[0;
0]
C=
1000
0010
D=
matlab仿真的开环阶跃响应曲线如下图所示，系统并不稳定。
图2.2系统开环阶跃响应曲线
3、倒立摆系统的PID控制算法设计
1.实验要求与目的
●要求：
●目的：
进一步熟悉PID控制器的设计方法，步骤，以及P、I、D三参数的调节方法。
2.理论分析
●PID控制原理
在模拟控制系统中，控制器最常用的控制规律是PID控制。
常规PID控制系统原理框图如下图所示。
系统由模拟PID控制器KD（S）和被控对象G（S）组成。
PID控制器是一种线性控制器，它根据给定值与实际输出值构成控制偏差
将偏差的比例（P）、积分（I）和微分（D）通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称PID控制器。
其控制规律为
或写成传递函数的形式
式中：
——比例系数；
——积分时间常数；
——微分时间常数。
在控制系统设计和仿真中，也将传递函数写成
——积分系数；
——微分系数。
简单说来，PID控制器各校正环节的作用如下：
（1）比例环节：
成比例地反映控制系统的偏差信号，偏差一旦产生，控制器立即产生控制作用，以减少偏差。
（2）积分环节：
主要用于消除稳态误差，提高系统的型别。
积分作用的强弱取决于积分时间常数，越大，积分作用越弱，反之则越强。
（3）微分环节：
反映偏差信号的变化趋势（变化速率），并能在偏差信号值变得太大之前，在系统中引入一个有效的早期修正信号，从而加快系统的动作速度，减小调节时间。
●摆杆角度控制
这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观察摆杆的响应。
系统框图如下：
图中是控制器传递函数，是被控对象传递函数。
考虑到输入，结构图可以很容易地变换成
该系统的输出为
其中：
——被控对象传递函数的分子项
——被控对象传递函数的分母项
——PID控制器传递函数的分子项
——PID控制器传递函数的分母项
被控对象的传递函数是
其中
PID控制器的传递函数为
只需调节PID控制器的参数，就可以得到满意的控制效果。
●小车位置控制
小车位置作为输出时，系统框图如下：
其中，是摆杆传递函数，是小车传递函数。
由于输入信号，所以可以把结构图转换成：
其中，反馈环代表我们前面设计的摆杆的控制器。
从此框图我们可以看出此处只对摆杆角度进行了控制，并没有对小车位置进行控制。
小车位置输出为：
其中，，，，分别代表被控对象1和被控对象2传递函数的分子和分母。
和代表PID控制器传递函数的分子和分母。
下面我们来求，根据前面实验二的推导，有
可以推出小车位置的传递函数为
可以看出，==，小车的算式可以简化成：
3.PID控制算法的MATLAB仿真
实际系统参数如下：
M小车质量1.096Kg
m摆杆质量0.109Kg
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
I摆杆惯量0.0034kg*m*m
F加在小车上的力
x小车位置
T采样时间
摆杆的matlab仿真程序代码如下：
M=0.5;
m=0.2;
I=0.006;
L=0.3;
num1=[m*
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