1定积分与微积分基本定理理含答案版Word格式文档下载.docx

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[答案]　C

[解析]　图中阴影部分面积为

S＝（3－x2－2x）dx＝（3x－x3－x2）|＝.

3.dx＝（　　）

A．4πB．2π

C．πD.

[解析]　令y＝，则x2＋y2＝4（y≥0），由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，

∴S＝×

π×

22＝π.

4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙（如图所示）．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是（　　）

A．在t1时刻，甲车在乙车前面

B．在t1时刻，甲车在乙车后面

C．在t0时刻，两车的位置相同

D．t0时刻后，乙车在甲车前面

[答案]　A

[解析]　判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t0，t1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：

车在某段时间行驶的路程就是该时间段速度函数的定积分，即速度函数v（t）的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：

在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；

同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：

在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.

5．向平面区域Ω＝{（x，y）|－≤x≤，0≤y≤1}随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是（　　）

A.B.

C.－1D.

[答案]　D

[解析]　平面区域Ω是矩形区域，其面积是，在这个区

6．的值是（　　）

A．0　　　　B.　　　C．2　　　　D．－2

[解析]　＝＝－2.

7．（2－|1－x|）dx＝________.

[答案]　3

[解析]　∵y＝，

∴（2－|1－x|）dx＝（1＋x）dx＋（3－x）dx

＝（x＋x2）|＋（3x－x2）|＝＋＝3.

9．已知a＝，则二项式（a－）6的展开式中含x2项的系数是________．

[答案]　－192

[解析]　由已知得a＝＝（－cosx＋sinx）|0＝（sin－cos）－（sin0－cos0）＝2，

（2－）6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝（－1）r×

C×

26－r×

x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为（－1）1×

25＝－192.

10．有一条直线与抛物线y＝x2相交于A、B两点，线段AB与抛物线所围成图形的面积恒等于，求线段AB的中点P的轨迹方程．

[解析]　设直线与抛物线的两个交点分别为A（a，a2），B（b，b2），不妨设a<

b，

则直线AB的方程为y－a2＝（x－a），

即y＝（a＋b）x－ab.

则直线AB与抛物线围成图形的面积为S＝[（a＋b）x－ab－x2]dx＝（x2－abx－）|＝（b－a）3，

∴（b－a）3＝，

解得b－a＝2.设线段AB的中点坐标为P（x，y），

其中将b－a＝2代入得

消去a得y＝x2＋1.

∴线段AB的中点P的轨迹方程为y＝x2＋1.

能力拓展提升

11.等比数列{an}中，a3＝6，前三项和S3＝4xdx，则公比q的值为（　　）

A．1B．－

C．1或－D．－1或－

[解析]　因为S3＝4xdx＝2x2|＝18，所以＋＋6＝18，化简得2q2－q－1＝0，解得q＝1或q＝－，故选C.

12．已知（xlnx）′＝lnx＋1，则lnxdx＝（　　）

A．1B．eC．e－1D．e＋1

[解析]　由（xlnx）′＝lnx＋1，联想到（xlnx－x）′＝（lnx＋1）－1＝lnx，于是lnxdx＝（xlnx－x）|＝（elne－e）－（1×

ln1－1）＝1.

13．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________．

[答案]　18

[解析]　由方程组解得两交点A（2,2）、B（8，－4），选y作为积分变量x＝、x＝4－y，

∴S＝[（4－y）－]dy＝（4y－－）|＝18.

14.

已知函数f（x）＝ex－1，直线l1：

x＝1，l2：

y＝et－1（t为常数，且0≤t≤1）．直线l1，l2与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅱ所示，其面积用S2表示．直线l2，y轴与函数f（x）的图象围成的封闭图形如图中区域Ⅰ所示，其面积用S1表示．当t变化时，阴影部分的面积的最小值为________．

[答案]　（－1）2

[解析]　由题意得S1＋S2＝（et－1－ex＋1）dx＋（ex－1－et＋1）dx＝（et－ex）dx＋（ex－et）dx＝（xet－ex）|＋（ex－xet）|＝（2t－3）et＋e＋1，令g（t）＝（2t－3）et＋e＋1（0≤t≤1），则g′（t）＝2et＋（2t－3）et＝（2t－1）et，令g′（t）＝0，得t＝，∴当t∈[0，）时，g′（t）<

0，g（t）是减函数，当t∈（，1]时，g′（t）>

0，g（t）是增函数，因此g（t）的最小值为g（）＝e＋1－2e＝（－1）2.故阴影部分的面积的最小值为（－1）2.

15．求下列定积分．

（1）－1|x|dx;

（2）cos2dx；

（3）∫dx.

[解析]　

（1）－1|x|dx＝2xdx＝2×

x2|＝1.

（2）cos2dx＝dx＝x|＋sinx|＝.

（3）∫dx＝ln（x－1）|＝1.

16．已知函数f（x）＝－x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为，求a的值．

[解析]　f′（x）＝－3x2＋2ax＋b，∵f′（0）＝0，∴b＝0，

∴f（x）＝－x3＋ax2，令f（x）＝0，得x＝0或x＝a（a<

0）．

∴S阴影＝[0－（－x3＋ax2）]dx

＝（x4－ax3）|＝a4＝，

∵a<

0，∴a＝－1.

1．已知函数f（x）＝sin5x＋1，根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义，探求的值，结果是（　　）

A.＋B．π

C．1D．0

[解析]　＝sin5xdx＋1dx，由于函数y＝sin5x是奇函数，所以sin5xdx＝0，而1dx＝x|－＝π，故选B.

2．若函数f（x）＝的图象与坐标轴所围成的封闭图形的面积为a，则a的值为（　　）

C．1D.

[解析]　由图可知a＝＋cosxdx＝＋sinx|0＝.

3．对任意非零实数a、b，若a⊗b的运算原理如图所示，则⊗sinxdx＝________.

[答案]　

[解析]　∵sinxdx＝－cosx|＝2>

，

∴⊗sinxdx＝⊗2＝＝.

4．设函数f（x）＝ax2＋c（a≠0），若f（x）dx＝f（x0），0≤x0≤1，则x0的值为________．

[解析]　f（x）dx＝（ax2＋c）dx＝（＋cx）|＝＋c，故＋c＝ax＋c，即ax＝，又a≠0，所以x＝，又0≤x0≤1，所以x0＝.故填.

5．设n＝（3x2－2）dx，则（x－）n展开式中含x2项的系数是________．

[答案]　40

[解析]　∵（x3－2x）′＝3x2－2，

∴n＝（3x2－2）dx＝（x3－2x）|

＝（23－2×

2）－（1－2）＝5.

∴（x－）5的通项公式为Tr＋1＝Cx5－r（－）r

＝（－2）rCx，令5－＝2，得r＝2，

∴x2项的系数是（－2）2C＝40.