ch7静电场中的导体和电介质习题及答案Word格式.docx

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用细导线连接两球，有，所以

2.证明：

对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，

（1）相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；

（2）相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。

证明:

如图所示，设两导体、的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为，，，

（1）取与平面垂直且底面分别在、内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得

故

上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。

（2）在内部任取一点，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即

又

故

3.半径为的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为处有一点电荷+，试求：

金属球上的感应电荷的电量。

解：

如图所示，设金属球表面感应电荷为，金属球接地时电势

由电势叠加原理，球心电势为

4．半径为的导体球，带有电量，球外有内外半径分别为、的同心导体球壳，球壳带有电量。

（1）求导体球和球壳的电势和；

（2）如果将球壳接地，求和；

（3）若导体球接地（设球壳离地面很远），求和。

（1）应用均匀带电球面产生的电势公式和电势叠加原理求解。

半径为、带电量为的均匀带电球面产生的电势分布为

导体球外表面均匀带电；

导体球壳内表面均匀带电，外表面均匀带电，由电势叠加原理知，空间任一点的电势等于导体球外表面、导体球壳内表面和外表面电荷在该点产生的电势的代数和。

导体球是等势体，其上任一点电势为

球壳是等势体，其上任一点电势为

（2）球壳接地，表明球壳外表面电荷入地，球壳外表面不带电，导体球外表面、球壳内表面电量不变，所以

（3）导体球接地，设导体球表面的感应电荷为，则球壳内表面均匀带电、外表面均匀带电，所以

解得

5.两个半径分别为和（＜）的同心薄金属球壳，现给内球壳带电+，试求：

（1）外球壳上的电荷分布及电势大小；

（2）先把外球壳接地，然后断开接地线重新绝缘，此时外球壳的电荷分布及电势；

（3）再使内球壳接地，此时内球壳上的电量以及外球壳上的电势。

（1）内球壳外表面带电；

外球壳内表面带电为,外表面带电为，且均匀分布，外球壳上电势为

（2）外球壳接地时，外表面电荷入地，外表面不带电，内表面电荷仍为。

所以球壳电势由内球与外球壳内表面产生，其电势为

（3）如图所示，设此时内球壳带电量为；

则外壳内表面带电量为，外壳外表面带电量为（电荷守恒），此时内球壳电势为零，且

得

外球壳的电势为

6.设一半径为的各向同性均匀电介质球体均匀带电，其自由电荷体密度为，球体内的介电常数为，球体外充满介电常数为的各向同性均匀电介质。

求球内外任一点的场强大小和电势（设无穷远处为电势零点）。

电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。

由介质中的高斯定理得

当时，，所以

，

球内（）电势为

球外（）电势为

7.如图所示，一平行板电容器极板面积为，两极板相距为，其中放有一层厚度为的介质，相对介电常数为，介质两边都是空气。

设极板上面电荷密度分别为+和，求：

（1）极板间各处的电位移和电场强度大小；

（2）两极板间的电势差；

（3）电容。

（1）取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，左底面圆在极板导体中，右底面圆在两极板之间）为高斯面，根据介质中的高斯定理，得

∴

（2）

（3）

8.如图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为的电介质，设极板面积为，两极板上分别带电荷为和，略去边缘效应。

试求：

（1）在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值；

（1）充满电介质部分场强为，真空部分场强为，有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度分别为和。

取闭合圆柱面（圆柱面与极板垂直，两底面圆与极板平行，上底面圆在极板导体中，下底面圆在两极板之间）为高斯面，由得

①

②

由①、②解得

（2）由电荷守恒定律知，③

由①、②、③解得

9.半径为的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为和，当内球带电荷时，求：

（1）整个电场储存的能量；

（2）将导体壳接地时整个电场储存的能量；

（3）此电容器的电容值。

如图所示，内球表面均匀带电，外球壳内表面均匀带电，外表面均匀带电

（1）由高斯定理得

当和时，

当时，

所以，在区域

在区域

总能量为

（2）导体壳接地时，只有时,其它区域，所以

（3）电容器电容为

10.一个圆柱形电容器，内圆柱面半径为，外圆柱面半径为，长为（，两圆筒间充有两层相对介电常量分别为和的各向同性均匀电介质，其分界面半径为，如图所示。

设内、外圆柱面单位长度上带电荷（即电荷线密度）分别为和，求：

（1）电容器的电容；

（2）电容器储存的能量。

（1）电场分布具有轴对称性，取同轴闭合圆柱面为高斯面，圆柱面高为，底面圆半径为。

由介质中的高斯定理得

当时，，

两圆筒间场强大小为

两圆筒间的电势差为

电容器的电容为

（2）电容器储存的能量

11．如图所示，一充电量为的平行板空气电容器，极板面积为，间距为，在保持极板上电量不变的条件下，平行地插入一厚度为，面积，相对电容率为的电介质平板，在插入电介质平板的过程中，外力需作多少功？

插入电介质平板之前，，电容器储存的能量为

插入电介质平板之后，由本章习题7的解法可得到

电容器储存的能量为

由能量守恒定律知，在插入电介质平板的过程中，外力作的功为

12.一球形电容器，内球壳半径为，外球壳半径为，两球壳间充有两层各向同性均匀电介质，其界面半径为，相对介电常数分别为和，如图所示。

设在两球壳间加上电势差，求：

（1）电容器的电容；

（2）电容器储存的能量。

（1）设球内球壳和外球壳分别带电、，电场具有球对称分布，以为半径作同心球面为高斯面。

内球壳和外球壳之间场强大小为

内球壳和外球壳之间电势差为

电容为

（2）电容器储存的能量为