高中数学第二章参数方程第4节渐开线与摆线教学案新人教A版选修4Word下载.docx
《高中数学第二章参数方程第4节渐开线与摆线教学案新人教A版选修4Word下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章参数方程第4节渐开线与摆线教学案新人教A版选修4Word下载.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2.摆线的参数方程中,字母r和参数φ的几何意义是什么?
字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小.
求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
[精讲详析] 本题考查圆的渐开线的参数方程的求法,解答本题需要搞清圆的渐开线的参数方程的一般形式,然后将相关字母的取值代入即可.
以圆心为原点O,绳端点的初始位置为M0,向量的方向为x轴正方向,建立坐标系,设渐开线上的任意点M(x,y),绳拉直时和圆的切点为A,故OA⊥AM,按渐开线定义,弧的长和线段AM的长相等,记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位),则|AM|==4θ
作AB垂直于x轴,过M点作AB的垂线,由三角和向量知识,得=(4cosθ,4sinθ),
由几何知识知∠MAB=θ,=(4θsinθ,-4θcosθ),
得
=(4cosθ+4θsinθ,4sinθ-4θcosθ)
=(4(cosθ+θsinθ),4(sinθ-θcosθ)).
又=(x,y),因此有
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
解决此类问题的关键是根据渐开线的形成过程,将问题归结到用向量知识和三角的有关知识建立等式关系上.
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤:
(1)建立合适的坐标系,设轨迹曲线上的动点为M(x,y).
(2)取定运动中产生的某一角度为参数.
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.
(4)用向量运算得到的坐标表达式,由此得到轨迹曲线的参数方程.
1.基圆直径为10,求其渐开线的参数方程.
解:
取φ为参数,φ为基圆上点与原点的连线与x轴正方向的夹角.
∵直径为10,∴半径r=5.
代入圆的渐开线的参数方程得:
这就是所求的圆的渐开线的参数方程.
求半径为2的圆的摆线的参数方程.(如图所示,开始时定点M在原点O处,取圆滚动时转过的角度α,(以弧度为单位)为参数)
[精讲详析] 本题考查圆的摆线的参数方程的求法.解答本题需要搞清圆的摆线的参数方程的一般形式,然后将相关数据代入即可.
当圆滚过α角时,圆心为点B,圆与x轴的切点为A,定点M的位置如图所示,∠ABM=α.
由于圆在滚动时不滑动,因此线段OA的长和圆弧的长相等,它们的长都等于2α,从而B点坐标为(2α,2).
向量=(2α,2),
向量=(2sinα,2cosα),=(-2sinα,-2cosα),
=(2α-2sinα,2-2cosα)
=(2(α-sinα),2(1-cosα)).
动点M的坐标为(x,y),向量=(x,y).
所以
这就是所求摆线的参数方程.
2.圆的半径为r,沿x轴正向滚动,圆与x轴相切于原点O.圆上点M起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程.
xM=r·
θ-r·
cos[(φ+θ)-]=r[θ-sin(φ+θ)],
yM=r+r·
sin(φ+θ-)
=r[1-cos(φ+θ)].
∴点M的参数方程为
(θ为参数)
设圆的半径为8,沿x轴正向滚动,开始时圆与x轴相切于原点O,记圆上动点为M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时M点的轨迹方程,画出相应曲线,求此曲线上点的纵坐标y的最大值,说明该曲线的对称轴.
[精讲详析] 本题考查摆线的参数方程的求法及应用.解答本题需要先分析题意,搞清M点的轨迹的形状,然后借助图象求得最值.
轨迹曲线的参数方程为(0≤t≤2π)
即t=π时,即x=8π时,y有最大值16.
曲线的对称轴为x=8π.
摆线的参数方程是三角函数的形式,可考虑其性质与三角函数的性质有类似的地方.
3.当φ=、π时,求出渐开线上对应的点A、B,并求出A、B间的距离.
将φ=代入
得x=cos+·
sin=0+=,
y=sin-·
cos=1.
∴A(,1).
将φ=π,代入
得x=cosπ+π·
sinπ=-1,y=sinπ-πcosπ=π.
∴B(-1,π).
∴|AB|=
=.
本课时考点是圆的渐开线或摆线的参数方程的应用,近几年的高考题中还未出现过.本考题以填空题的形式对圆的摆线的参数方程的应用进行了考查,属低档题.
[考题印证]
摆线(0≤t≤2π)与直线y=1的交点的直角坐标为________.
[命题立意] 本题主要考查摆线方程及其参数的几何意义.
[解析] 由题设得1=1-cost,解得t1=,t2=π.
对应交点的坐标为
交点为(-1,1),(π+1,1).
答案:
(-1,1),(π+1,1)
一、选择题
1.关于渐开线和摆线的叙述,正确的是( )
A.只有圆才有渐开线
B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才能得到不同的图形
C.正方形也可以有渐开线
D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,画出的渐开线形状就不同
解析:
选C 本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线,渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.
2.(φ为参数)表示的是( )
A.半径为5的圆的渐开线的参数方程
B.半径为5的圆的摆线的参数方程
C.直径为5的圆的渐开线的参数方程
D.直径为5的圆的摆线的参数方程
选B 根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知B正确.
3.已知一个圆的参数方程为(φ为参数),那么圆的摆线方程中参数取对应的点A与点B之间的距离为( )
A.-1 B.
C.D.
选C 根据圆的参数方程可知,圆的半径为3,那么它的摆线的参数方程为(φ为参数),
把φ=代入参数方程中可得
即A(3(-1),3).
∴|AB|==.
4.已知一个圆的摆线过点(1,0),则摆线的参数方程为( )
A.
B.
C.
D.
选A 圆的摆线的参数方程为
令r(1-cosφ)=0,得:
φ=2kπ,代入x=r(φ-sinφ),
得:
x=r(2kπ-sin2kπ),又过(1,0),
∴r(2kπ-sin2kπ)=1,∴r=,
又r>0,∴k∈N+.
二、填空题
5.已知圆的渐开线的参数方程是(φ为参数),则此渐开线对应的基圆的直径是________,当参数φ=时对应的曲线上的点的坐标为________.
圆的渐开线的参数方程由圆的半径惟一确定,从方程不难看出基圆的半径为1,故直径为2.求当φ=时对应的坐标只需把φ=代入曲线的参数方程,得x=+,y=-,由此可得对应的坐标为(+,-).
2 (+,-)
6.我们知道关于直线y=x对称的两个函数互为反函数,则圆的摆线(φ为参数)关于直线y=x对称的曲线的参数方程为________.
关于直线y=x对称的函数互为反函数,而求反函数的过程主要体现了x与y的互换,所以要写出摆线方程关于y=x对称的曲线方程,只需把其中的x,y互换.
(φ为参数)
7.渐开线(φ为参数)的基圆的圆心在原点,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________.
根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r=6,其方程为x2+y2=36,把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到的曲线的方程为(x)2+y2=36,整理可得+=1,这是一个焦点在x轴上的椭圆.c===6,故焦点坐标为(6,0)和(-6,0).
(6,0)和(-6,0)
8.圆的渐开线上与t=对应的点的直角坐标为________.
对应点的直角坐标为
∴t=对应的点的直角坐标为(1+,1-).
(1+,1-)
三、解答题
9.半径为r的圆沿直轨道滚动,M在起始处和原点重合,当M转过π和π时,求点M的坐标.
由摆线方程可知:
φ=π时,xM=r,yM=r;
φ=π时,xM=r(7π+2),yM=r.
∴点M的坐标分别是(,r)、(r(7π+2),r).
10.如图ABCD是边长为1的正方形,曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”,其中AE、EF、FG、GH…的圆心依次按B、C、D、A循环,它们依次相连接,求曲线AEFGH的长.
根据渐开线的定义可知,是半径为1的圆周长,长度为,继续旋转可得是半径为2的圆周长,长度为π;
是半径为3的圆周长,长度为;
是半径为4的圆周长,长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
11.已知圆C的参数方程是(α为参数),直线l的普通方程是x-y-6=0.
(1)如果把圆心平移到原点O,请问平移后圆和直线有什么关系?
(2)写出平移后圆的摆线方程.
(3)求摆线和x轴的交点.
(1)圆C平移后圆心为O(0,0),它到直线x-y-6=0的距离为d==6,恰好等于圆的半径,所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6,所以可得摆线方程是
(φ为参数).
(3)令y=0,得6-6cosφ=0⇒cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入x=6φ-6sinφ,得x=12kπ(k∈Z),即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ,0)(k∈Z).