全国初中数学联合竞赛试题 数2Word格式文档下载.docx

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1（B）.已知的最大边上的高线和中线恰好把三等分，,则.

2（A）.在四边形中，∥,平分,为对角线的交点，则.

3.【3（A）、4（B）】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.

3（B）.若质数、满足：

则的最大值为.

4（A）.将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为,则的最大值为.

第二试

（3月20日上午9:

50—11:

20）

一、（本题满分20分）

已知为正整数，求能取到的最小正整数值.

二、（本题满分25分）

（A）.如图，点在以为直径的上，于点,点在上，四边形是正方形，的延长线与交于点.证明:

.

（B）.已知：

求的值.

三、（本题满分25分）

（A）.已知正实数满足：

且

（1）求的值.

（2）证明:

（3）B）如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.

【答案】.

【解析】即

又故选A.

【答案】C.

【解析】设购买三种图书的数量分别为则，

即，解得依题意得，为自然数（非负整数），

故有种可能的取值（分别为，对于每一个值，和都有唯一的值（自然数）相对应.即不同的购书方案共有11种，故选C.

3（A）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如：

【答案】B.

【解析】

（其中为非负整数），由得，

，即得所有不超过2016的“和谐数”，它们的和为

故选B.

【答案】B.

【解析】依题意知故且，

，于是

又为整数，故，故选B.

4.已知的半径垂直于弦,交于点，连接并延长交于点,若,则的面积为（）

【解析】设则

于

在中，

即解得，即（第4题答案图）

为的中位线，是的直径，

故选A.

（第5题答案图）

【答案】D.

【解析】过点作于点则～设则

在中，则

显然，化简整理得

解得（不符合题意，舍去），故

在中，,故选D.

【答案】C.

【解析】

当且仅当时，取等号，故，故选C.

【答案】.

【解析】如图，过点作于点.

在中，（第1题答案图）

设，

依题意知故，于是

解得，故点的坐标为.

（第1题答案图1）（第1题答案图2）

依题意得,故.

（1）若时，如答案图1所示，≌

又平分在中，即

从而.

在中，.

（2）若时，如答案图2所示.同理可得.综上所述，.

【答案】.

【解析】设,

平分,,

∥,,（第2题答案图）

,,

,

解得，,

故.

【解析】设两个三位数分别为，则，①

故是的正整数倍，不妨设（为正整数），代入①得是三位数，，解得

为正整数，的可能取值为验证可知，只有符合，此时

故所求的六位数为.

【解析】由得，

因为质数，故的值随着质数的增大而增大，当且仅当取得最大值时，取得最大值.

又，，因为质数，故的可能取值为

，但时，不是质数，舍去.

当时,恰为质数.故.

【答案】

（依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论,确定的最大值.

（1）若5个1分布在同一列，则；

（2）若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故

故;

（3）若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故

（4）若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾.

综上所述，

另一方面，如下表的例子说明可以取到10.故的最大值为

1

4

5

2

3

第二试

【解析】解：

因为正整数，要使得的值为正整数，则有.

当时，只能为1，此时故能取到的最小正整数值不超过4.

当时，只能为1或2.若;

若，则.

当时，只能为1或2或3.若;

若;

若则.

（下面考虑：

的值能否为1？

）

（反证法）假设，则，即，

①

因为正整数，故为奇数，从而为奇数，为偶数，

不妨设，其中均为正整数，则

即被除所得余数为3，而被4除所得余数为1，

故①式不可能成立，故.因此，能取到的最小正整数值为2.

.

（第2（A）题答案图）

【证明】：

连接、为的直径，于点

由四边形是正方形及于点可知:

点在上，

以点为圆心、为半径作与直线交于另一点,则与切于点,即是的切线，直线是的割线，故由切割线定理得

即点与点重合，点在上，.

（注：

上述最后一段得证明用了“同一法”）

【解析】由已知得

由恒等式得，

又

同理可得

∴原式=

【注：

恒等式】

3、除了我们日常生活产生的家庭垃圾外，工厂、学校、医院、建筑工地等每天也在产生大量的垃圾。

.

（4）求的值.

（5）

（6）12、放大镜和显微镜的发明，大大扩展了我们的视野，让我们走进微小世界，让我们看到了微生物和细胞。

证明:

答：

①利用微生物的作用，我们可以生产酒、醋、酸奶、馒头和面包等食品。

②土壤中的微生物可以分解动植物的尸体，使它们变成植物需要的营养素。

③在工业生产和医药卫生中也都离不开微生物。

（1）解：

由等式，

22、光的传播速度是每秒钟30万千米，光年就是光在一年中所走过的距离，它是用来计量恒星间距离的单位。

去分母得，

4、填埋场在填满垃圾以后，可以在上面修建公园、体育场、但是不能用来建筑房屋和种植庄稼。

，

，，

，原式=

优点：

占地小，避免了垃圾污染地下水，产生的热量还可以用来发电。

（2）证明：

由

（1）得计算过程知，又为正实数,

7、对于生活中的一些废弃物，我们可以从垃圾中回收它们并重新加工利用。

这样做不但能够减少垃圾的数量，而且能够节省大量的自然资源。

3、苍蝇落在竖直光滑的玻璃上，不但不滑落，而且还能在上面爬行，这和它脚的构造有关。

蟋蟀的耳朵在足的内侧。

蝴蝶的翅膀上布满彩色小鳞片，其实是扁平的细毛。

∴.

月相从新月开始，然后是峨眉月、上弦月、满月、下弦月、峨眉月。

5、垃圾的回收利用有哪些好处？

】

（B）.如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点求的值.

（第3（B）题答案图）

【解析】如图，连接,则

点关于直线的对称点为点,

四点共圆,（同弧所对得圆周角相等）

四点共圆，

（注：

若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说成：

若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）