历届全国大学生高等数学竞赛真题及答案非数学类word精品文档12页Word文档格式.docx

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每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈。

二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯。

或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心。

三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神。

对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿。

长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高。

2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

要练说，得练听。

听是说的前提，听得准确，才有条件正确模仿，才能不断地掌握高一级水平的语言。

我在教学中，注意听说结合，训练幼儿听的能力，课堂上，我特别重视教师的语言，我对幼儿说话，注意声音清楚，高低起伏，抑扬有致，富有吸引力，这样能引起幼儿的注意。

当我发现有的幼儿不专心听别人发言时，就随时表扬那些静听的幼儿，或是让他重复别人说过的内容，抓住教育时机，要求他们专心听，用心记。

平时我还通过各种趣味活动，培养幼儿边听边记，边听边想，边听边说的能力，如听词对词，听词句说意思，听句子辩正误，听故事讲述故事，听谜语猜谜底，听智力故事，动脑筋，出主意，听儿歌上句，接儿歌下句等，这样幼儿学得生动活泼，轻松愉快，既训练了听的能力，强化了记忆，又发展了思维，为说打下了基础。

一、填空题（每小题5分，共20分）

1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.

解:

令，则，，

令，则

2．设是连续函数，且满足,则____________.

令，则，

解得。

因此。

3．曲面平行平面的切平面方程是__________.

因平面的法向量为，而曲面在处的法向量为，故与平行，因此，由，知，

即，又，于是曲面在处的切平面方程是，即曲面平行平面

的切平面方程是。

4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.

方程的两边对求导，得

因，故，即，因此

二、（5分）求极限，其中是给定的正整数.

解:

因

故

因此

三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.

由和函数连续知，

因，故，

因此，当时，，故

当时，

这表明在处连续.

四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：

（1）；

（2）.

证:

因被积函数的偏导数连续在上连续，故由格林公式知

（1）

而关于和是对称的，即知

（2）因

由

知

即

五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设，，是二阶常系数线性非齐次微分方程

的三个解，则和都是二阶常系数线性齐次微分方程

的解，因此的特征多项式是，而的特征多项式是

因此二阶常系数线性齐次微分方程为，由和

知，

二阶常系数线性非齐次微分方程为

六、（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.

解因抛物线过原点，故，于是

即

而此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积

令

得

七、（15分）已知满足,且,求函数项级数之和.

解

由一阶线性非齐次微分方程公式知

由知，，

于是

下面求级数的和：

则

令，得，因此级数的和

八、（10分）求时,与等价的无穷大量.

解令，则因当，时，，故

在上严格单调减。

又

所以，当时,与等价的无穷大量是。

2019年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。

一、（25分，每小题5分）

（1）设其中求

（2）求。

（3）设，求。

（4）设函数有二阶连续导数，，求。

（5）求直线与直线的距离。

解：

（1）=

（2）

令x=1/t,则

原式=

（3）

二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且

且存在一点，使得。

证明：

方程在恰有两个实根。

二阶导数为正，则一阶导数单增，f（x）先减后增，因为f（x）有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。

将f（x）二阶泰勒展开：

因为二阶倒数大于0，所以

证明完成。

三、（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。

（这儿少了一个条件）由与在出相切得

上式可以得到一个微分方程，求解即可。

四、（15分）设证明：

（1）当时，级数收敛；

（2）当且时，级数发散。

（1）>

0,单调递增

当收敛时，，而收敛，所以收敛；

当发散时，

所以，

而，收敛于k。

所以，收敛。

（2）

所以发散，所以存在，使得

于是，

依此类推，可得存在

使得成立，所以

当时，，所以发散

五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球

，其中（密度为1）绕旋转。

（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。

（1）椭球上一点P（x,y,z）到直线的距离

由轮换对称性，

六、（15分）设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。

（1）设为正向闭曲线证明

（2）求函数；

（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。

（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段，，再从A，B作一曲线，使之包围原点。

则有

（2）令

由

（1）知，代入可得

上式将两边看做y的多项式，整理得

由此可得

解得：

（3）取为，方向为顺时针

2019年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）

（1）.求；

（用两个重要极限）：

（2）.求；

（用欧拉公式）令

其中，表示时的无穷小量，

（3）已知，求。

二．（本题10分）求方程的通解。

设，则

是一个全微分方程，设

该曲线积分与路径无关

三．（本题15分）设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：

存在唯一一组实数，使得。

由极限的存在性：

即，又，①

由洛比达法则得

由极限的存在性得

即，又，②

再次使用洛比达法则得

由①②③得是齐次线性方程组的解

设，则，

增广矩阵，则

所以，方程有唯一解，即存在唯一一组实数满足题意，

且。

四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。

设上任一点，令，

则椭球面在上点M处的法向量为：

在点M处的切平面为：

原点到平面的距离为，令则，

现在求在条件，下的条件极值，

则由拉格朗日乘数法得：

解得或，

对应此时的或

此时的或

又因为，则

所以，椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

，

五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。

计算：

（1）由题意得：

椭球面S的方程为

令则，

切平面的法向量为，

的方程为，

原点到切平面的距离

将一型曲面积分转化为二重积分得：

记

（2）方法一：

六．（本题12分）设f（x）是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：

绝对收敛。

由拉格朗日中值定理得：

介于之间，使得

，又得

级数收敛，级数收敛，即绝对收敛。

七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f（x），满足，

？

请说明理由。

假设存在，当时，由拉格朗日中值定理得：

介于0，x之间，使得，

同理，当时，由拉格朗日中值定理得：

介于x，2之间，使得

显然，

，又由题意得

即，

不存在，又因为f（x）是在区间上的连续可微函数，即存在，矛盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f（x）。