精品椭圆高考题目汇总教师版含答案Word格式.docx

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6D.8

【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值。

【思路点拨】先求出椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.

【规范解答】选C,设，则，又因为

又，，所以。

3.（2010·

海南高考理科·

T20）设分别是椭圆E:

（a〉b>

0）的左、右焦点,过斜率为1的直线与E相交于两点，且,，成等差数列。

（Ⅰ）求E的离心率；

（Ⅱ）设点P（0，-1）满足，求E的方程。

【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识。

【思路点拨】利用等差数列的定义，得出，，满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算。

【规范解答】

（Ⅰ）由椭圆的定义知,，又

得，的方程为，其中

设，则两点坐标满足方程组

化简得，

则，。

因为直线AB斜率为1,所以

得,故，所以E的离心率.

（Ⅱ）设两点的中点为，由（Ⅰ）知，.

由，可知.即，得,从而.

椭圆E的方程为。

【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.

4。

北京高考文科·

Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是,直线与椭圆C交与不同的两点M,N，以线段MN为直径作圆

P，圆心为P.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标;

（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时,求y的最大值.

【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。

要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解。

第（Ⅲ）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想。

【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。

直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.

（Ⅰ）因为，且,所以

所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）由题意知

由得

所以圆P的半径为。

由，解得.所以点P的坐标是（0，）.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程.因为点在圆P上。

所以由图可知.设,则

当，即，且,取最大值2.

【方法技巧】

（1）直线与圆的位置关系：

时相离；

时相切；

时相交；

（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.

5.（2010·

辽宁高考文理科·

Ｔ20）设椭圆C：

的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.

（I）求椭圆C的离心率；

（II）如果|AB|=，求椭圆C的方程.

【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.

【思路点拨】

（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标,利用这两个纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率。

（II）利用弦长公式表示出｜AB｜，再结合离心率和，求出a、b，写出椭圆方程.

1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x（或y），得到关于y（或x）的一元二次方程，使问题得以解决.

2、弦长问题，注意使用弦长公式,并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.

6.（2010·

天津高考文理科·

Ｔ20）

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值。

【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。

（1）建立关于a,b的方程组求出a，b；

（2）构造新的一元二次方程求解。

（1）由,得，再由，得

由题意可知，

解方程组得a=2,b=1,所以椭圆的方程为。

（2）解：

由

（1）可知A（—2，0）.设B点的坐标为（x1，,y1）,直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k（x+2）,

于是A,B两点的坐标满足方程组

由方程组消去整理，得

设线段AB是中点为M,则M的坐标为

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2，0）。

线段AB的垂直平分线为y轴，于是

（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为（后边的Y改为小写）

令x=0，解得

由

整理得

综上

7.（2010·

福建高考理科·

Ｔ17）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点.

（I）求椭圆C的方程；

（II）是否存在平行于OA的直线，使得直线与椭圆C有公共点，且直线OA与的距离等于4？

若存在，求出直线的方程；

若不存在,说明理由。

【命题立意】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。

【思路点拨】第一步先求出左焦点，进而求出a，c,然后求解椭圆的标准方程；

第二步依题意假设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用判别式限制参数t的范围，再由直线OA与直线的距离等于4列出方程，求解出t的值,注意判别式对参数t的限制.

（I）依题意，可设椭圆的方程为，且可知左焦点为，从而有，解得，又，故椭圆的方程为；

（II）假设存在符合题意的直线，其方程为,由得，因为直线与椭圆C有公共点,所以,解得.另一方面，由直线OA与直线的距离等于4可得,由于,所以符合题意的直线不存在.

【方法技巧】在求解直线与圆锥曲线的位置关系中的相交弦问题时，我们一定要注意判别式的限制.因为抛物与直线有交点,注意应用进行验证可避免增根也可以用来限制参数的范围.

8。

安徽高考理科·

Ｔ19）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。

（2）求的角平分线所在直线的方程;

（3）在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？

若存在,请找出；

【命题立意】本题主要考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单性质，点关于直线的对称性等知识，考查考生在解析几何的基本思想方法方面的认知水平,探究意识,创新意识和综合运算求解能力．

（1）设出椭圆的标准方程,再根据题设条件构建方程（组）求解；

（2）根据角平分线的性质求出直线的斜率或直线上的一个点的坐标，进而求得直线的方程；

（3）先假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点，在此基础之上进行推理运算，求解此两点,根据推理结果做出判断。

（1）设椭圆的方程为（），

由题意，，又,解得:

椭圆的方程为

（2）方法1：

由

（1）问得，，又,易得为直角三角形，其中

设的角平分线所在直线与x轴交于点,根据角平线定理可知：

，可得，

直线的方程为：

，即.

方法2：

由

（1）问得，，又,

，,

，

，直线的方程为：

，即。

（3）假设椭圆上存在关于直线对称的相异两点、,

令、，且的中点为

，，

又，两式相减得:

，即（3），

又在直线上,（4）

由（3）（4）解得：

所以点与点是同一点,这与假设矛盾，

故椭圆上不存在关于直线对称的相异两点。

1、求圆锥曲线的方程，通常是利用待定系数法先设出曲线的标准方程，再根据题设条件构建方程（组）求解；

.

2、利用向量表示出已知条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算;

3、对于存在性问题，其常规解法是先假设命题存在,再根据题设条件进行的推理运算，若能推得符合题意的结论，则存在性成立，否则，存在性不成立。

9．（2010·

陕西高考文理科·

如图,椭圆C：

（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A,B两点的直线，是否存在上述直线l使成立？

若存在，求出直线l的方程;

若不存在，请说明理由。

【命题立意】本题考查了椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。

其中问题

（2）是一个开放性问题，考查了观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力。

【思路点拨】已知的方程组椭圆C的方程假设存在直线l使命题成立结论

（Ⅰ）由知a2+b2=7,①

由②

又，③

由①②③解得

故椭圆C的方程为

（Ⅱ）设A,B两点的坐标分别为（x1,y1）（x2，y2）

假设存在直线l使成立，

（ⅰ）当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=kx+m，

由l与n垂直相交于P点且得

因为

由求根公式得：

④

⑤

将④⑤代入上式并化简得

（ⅱ）当l与x轴垂直时，满足的直线l的方程为，