步步高届高三数学大一轮复习 103二项式定理教案 理 新人教A版Word文档格式.docx

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时，二项式系数是递增的；

当k>

时，二项式系数是递减的．

当n是偶数时，中间的一项Cn取得最大值．

当n是奇数时，中间两项Cn和Cn相等，且同时取得最大值．

（3）各二项式系数的和

（a＋b）n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C＋C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

[难点正本　疑点清源]

1．二项式的项数与项

（1）二项式的展开式共有n＋1项，Can－kbk是第k＋1项．即k＋1是项数，Can－kbk是项．

（2）通项是Tk＋1＝Can－kbk（k＝0,1,2，…，n）．其中含有Tk＋1，a，b，n，k五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．

2．二项式系数与展开式项的系数的异同

在Tk＋1＝Can－kbk中，C就是该项的二项式系数，它与a，b的值无关；

而Tk＋1项的系数是指化简后字母外的数．

3．二项式定理的应用

（1）通项的应用：

利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等．

（2）展开式的应用：

利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；

②可证明不等式；

③可证明整除问题；

④可做近似计算等．

1．（2011·

广东）x7的展开式中，x4的系数是______．（用数字作答）

答案　84

解析　x7的展开式的通项是Tr＋1＝xCx7－r·

r＝C（－2）rx8－2r.令8－2r＝4，得r＝2，故x4的系数是C·

4＝84.

2．（2012·

陕西）（a＋x）5展开式中x2的系数为10，则实数a的值为________．

答案　1

解析　（a＋x）5的展开式的通项公式为Tr＋1＝Ca5－rxr.

当r＝2时，由题意知Ca3＝10，∴a3＝1，∴a＝1.

3．（2012·

安徽）（x2＋2）5的展开式的常数项是（　　）

A．－3B．－2C．2D．3

答案　D

解析　二项式5展开式的通项为：

Tr＋1＝C5－r·

（－1）r＝C·

x2r－10·

（－1）r.

当2r－10＝－2，即r＝4时，有x2·

Cx－2·

（－1）4＝C×

（－1）4＝5；

当2r－10＝0，即r＝5时，有2·

Cx0·

（－1）5＝－2.

∴展开式中的常数项为5－2＝3，故选D.

4．若n展开式中各项系数之和为32，则该展开式中含x3的项的系数为（　　）

A．－5B．5C．－405D．405

答案　C

解析　根据已知，令x＝1，得2n＝32，即n＝5.

二项展开式的通项公式是Tr＋1＝C（3x）5－r·

r＝（－1）r35－rCx5－2r，令5－2r＝3，r＝1，

此时的系数是－34×

5＝－405.

5．若n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为（　　）

A.B.

C．－D.

答案　B

解析　由题意知C＝＝15，所以n＝6，故n＝6，令x＝1得所有项系数之和为6＝.

题型一　求二项展开式的指定项或指定项系数

例1　已知在n的展开式中，第6项为常数项．

（1）求n；

（2）求含x2的项的系数；

（3）求展开式中所有的有理项．

思维启迪：

先根据第6项为常数项利用通项公式求出n，然后再求指定项．

解　

（1）通项公式为

Tk＋1＝Cxkx－＝Ckx.

因为第6项为常数项，

所以k＝5时，＝0，即n＝10.

（2）令＝2，得k＝2，

故含x2的项的系数是C2＝.

（3）根据通项公式，由题意，

令＝r（r∈Z），则10－2k＝3r，k＝5－r，

∵k∈N，∴r应为偶数．

∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，

∴第3项，第6项与第9项为有理项，

它们分别为C2x2，C5，C8x－2.

探究提高　求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；

求有理项时，指数为整数等），解出项数k＋1，代回通项公式即可．

（1）（2012·

重庆）8的展开式中常数项为（　　）

A.B.C.D．105

（2）（2012·

上海）在6的二项展开式中，常数项等于________．

答案　

（1）B　

（2）－160

解析　

（1）Tr＋1＝C（）8－rr＝Cx4－－＝Cx4－r.令4－r＝0，则r＝4，

∴常数项为T5＝C＝×

70＝.

（2）方法一　利用计数原理及排列、组合知识求解．

常数项为Cx33＝20x3＝－160.

方法二　利用二项展开式的通项求解．

Tr＋1＝Cx6－rr＝（－2）rCx6－2r，

令6－2r＝0，得r＝3.

所以常数项为T4＝（－2）3C＝－160.

题型二　求最大系数或系数最大的项

例2　已知（＋3x2）n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.

（1）求该展开式中的二项式系数最大的项；

（2）求该展开式中的系数最大的项．

可先根据条件列方程求n，然后根据二项式系数的性质及系数的大小关系求二项式系数最大的项、系数最大的项．

解　令x＝1，得各项的系数之和为（1＋3）n＝4n，而二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝2n.根据题意，4n＝2n＋992，得2n＝32或2n＝－31（舍去），所以n＝5.

（1）二项式系数最大的项为第3项和第4项，

T3＝C（）3（3x2）2＝90x6，

T4＝C（）2（3x2）3＝270x.

（2）设第r＋1项系数最大，则

即解得≤r≤.

又r∈N，得r＝4，所以系数最大的项为T5＝405x.

探究提高　展开式的系数和与展开式的二项式系数和是不同的概念，二项式系数最大的项与系数最大的项也是不同的概念，解题时要注意辨别．第

（2）小题解不等式时可将组合数展开为阶乘形式．

已知f（x）＝（1＋x）m＋（1＋2x）n（m，n∈N*）的展开式中x的系数为11.

（1）求x2的系数取最小值时n的值；

（2）当x2的系数取得最小值时，求f（x）展开式中x的奇次幂项的系数之和．

解　

（1）由已知C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，

x2的系数为C＋22C＝＋2n（n－1）

＝＋（11－m）＝2＋.

∵m∈N*，

∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.

（2）由

（1）知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，

∴f（x）＝（1＋x）5＋（1＋2x）3.

设这时f（x）的展开式为

f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，

令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，

令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，

两式相减得2（a1＋a3＋a5）＝60，

故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.

题型三　二项式定理的应用

例3　

（1）已知2n＋2·

3n＋5n－a能被25整除，求正整数a的最小值；

（2）求1.028的近似值．（精确到小数点后三位）

（1）将已知式子按二项式定理展开，注意转化时和25的联系；

（2）近似值计算只要看展开式中的项的大小即可．

解　

（1）原式＝4·

6n＋5n－a＝4（5＋1）n＋5n－a

＝4（C5n＋C5n－1＋…＋C52＋C5＋C）＋5n－a

＝4（C5n＋C5n－1＋…＋C52）＋25n＋4－a，

显然正整数a的最小值为4.

（2）1.028＝（1＋0.02）8≈C＋C·

0.02＋C·

0.022＋C·

0.023≈1.172.

探究提高　

（1）整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项．

（2）二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式．

求证：

（1）32n＋2－8n－9能被64整除（n∈N*）；

（2）3n>

（n＋2）·

2n－1（n∈N*，n>

2）．

证明　

（1）∵32n＋2－8n－9＝32·

32n－8n－9

＝9·

9n－8n－9＝9（8＋1）n－8n－9

＝9（C8n＋C8n－1＋…＋C·

8＋C·

1）－8n－9

＝9（8n＋C8n－1＋…＋C82）＋9·

8n＋9－8n－9

＝9×

82（8n－2＋C·

8n－3＋…＋C）＋64n

＝64[9（8n－2＋C8n－3＋…＋C）＋n]，

显然括号内是正整数，∴原式能被64整除．

（2）因为n∈N*，且n>

2，所以3n＝（2＋1）n展开后至少有4项．

（2＋1）n＝2n＋C·

2n－1＋…＋C·

2＋1≥2n＋n·

2n－1＋2n＋1>

2n＋n·

2n－1＝（n＋2）·

2n－1，

故3n>

混淆二项展开式的系数与二项式系数致误

典例：

（12分）已知（＋x2）2n的展开式的二项式系数和比（3x－1）n的展开式的二项式系数和大992.求在2n的展开式中，

（1）二项式系数最大的项；

（2）系数的绝对值最大的项．

易错分析　本题易将二项式系数和系数混淆，利用赋值来求二项式系数的和导致错误；

另外，也要注意项与项的系数，系数的绝对值与系数的区别．

规范解答

解　由题意知，22n－2n＝992，

即（2n－32）（2n＋31）＝0，∴2n＝32，解得n＝5.[2分]

（1）由二项式系数的性质知，

10的展开式中第6项的二项式系数最大，

即C＝252.∴二项式系数最大的项为

T6＝C（2x）55＝－8064.[6分]

（2）设第r＋1项的系数的绝对值最大，

∴Tr＋1＝C·

（2x）10－r·

r

＝（－1）rC·

210－r·

x10－2r，

∴，

得，即，

解得≤r≤，[10分]

∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，

T4＝－C·

27·

x4＝－15360x4.[12分]

温馨提醒　

（1）本题重点考查了二项式的通项公式，二项式系数、项的系数以及项数和项的有关概念．

（2）解题时要注意区别二项式系数和项的系数的不同；

项数和项的不同．

（3）本题的易错点是混淆项与项数，二项式系数和项的系数的区别.

方法与技巧

1．二项展开式的通项Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．

2．求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k的限制．

3．性质1是组合数公式C＝C的再现，性质2是从函数的角度研究二项式系数的单调性，性质3是利用赋值法得出的二项展开式中所有二项式系数的和．

4．