八年级数学竞赛试题及答案Word下载.docx
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若不存在，请说明理由．
10、设x1,x2,x3,……，x2008是整数,且满足下列条件:
（1）–1≤xn≤2（n=1,2,3,……,2008）;
（2）x1+x2+x3+……+x2008=200;
（3）x12+x22+x32+……+x20082=2008.
求x13+x23+x33+……+x20083的最小值和最大值.
11．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式>
0，那么就可以交换b，c的位置，这称为一次操作.
（1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：
是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a，b，c，d，都有≤0？
请说明理由.
（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：
解：
（1）
（2）
12．已知，，为互质的正整数（即，是正整数，且它们的最大公约数为1），且≤8，．（１）试写出一个满足条件的x；
（２）求所有满足条件的x．
13、如下图已知△ABC内，P、Q分别在BC，CA上，并且AP、BQ分别是∠BAC、∠ABC的平分线。
（1）若∠BAC=60°
，∠ACB=40°
，求证：
BQ+AQ=AB+BP；
（2）若∠ACB=α时，其他条件不变，直接写出∠BAC=（）时，仍有BQ+AQ=AB+BP。
14、用任意的方式,给平面上的每一点染上黑色或白色.求证:
一定存在一个边长为1或的正三角形,它的三个顶点是同色的.
15.将1,2,3,……，10这十个数按着某一顺序排成一行,使得每相邻三个数的和都不超出n.问:
（1）当n=10时,能否排成,请说明理由;
（2）当能够排成时,n的最小值是多少?
16.已知实数a，b，c满足：
a+b+c=2，abc=4.
（1）求a，b，c中的最大者的最小值；
（2）求的最小值.
17．（本题4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE,恰有AD=BC=CE=DE.求的度数。
参考答案
１、法一：
设a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．
首先，对于a1，a2，a3，a4，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1是奇数，则ai+2是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：
偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1．
法二：
第一位是2，后面两位奇数任意：
21345、23145、21543、25143、23541、25341
第一位是4，后面两位奇数不能是1、5或5、1：
41325、43125、43521、45321
排除：
23145、21543、25341、41325、43521
还剩：
21345、25143、23541、43125、45321
所以共有5种排法故选：
D．
２、设18路公交车的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s米．
每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则6x－6y=s．①
每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则3x+3y=s．②
由①，②可得s=4x，所以=4．
即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．故选B．
３、解：
过点B作BG∥AD交CA延长线于G
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
∵BG∥AD
∴∠ABG＝∠BAD，∠G＝∠CAD
∴∠ABG＝∠G
∴AG＝AB＝7
∴CG＝AG+AC＝7+11＝18
∵MF∥AD
∴MF∥BG
∵M是BC的中点
∴MF是三角形CBG的中位线
∴FC＝CG/2＝9
４、解：
因为0<
，所以，，…，等于0或1．由题设知，其中有18个等于1，所以
=0，=1，
所以，1≤＜2．
故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．
５、282500解：
设原来电话号码的六位数为，则经过两次升位后电话号码的八位数为
．根据题意，有81×
=．
记，于是
，
解得x=1250×
（208－71a）．
因为0≤x＜，所以0≤1250×
（208－71a）＜，故≤．
因为a为整数，所以a=2．于是x=1250×
（208－71×
2）=82500．
所以，小明家原来的电话号码为282500．
６、在平面上有7个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，连接其中任意两个点，最多能画6+5+4+3+2+1=21条线段．
以这些线段为边，最多能构成
7×
（7－1）×
（7－2）
6
=35个三角形．
答：
最多可以得到21条线段；
以这些线段为边，最多能构成35个三角形．
故答案为：
21，35．
７、a^2－b^2=bc,即a^2=b（b+c）,
b^2－c^2=ca,即ca=（b+c）（b－c）,
两式相除得：
a/c=b/（b－c）,
即ab－ac=bc,c（a+b）=ab.……（*）
a^2－b^2=bc,b^2－c^2=ca,两式相加得：
a^2－c^2=c（a+b）,
将（*）代入上式得：
a^2－c^2=ab.
８、欲证四边形ＥＦＧＨ是正方形，只须证：
（1）四边形ＥＦＧＨ是平行四边形；
（2）ＥＨ=ＨＧ；
（3）ＥＨ⊥ＨＧ．
（1）如图7，∵连结ＡC、ＢＤ，延长ＢＤ交AC于点K，延长ＣD交AB于Ｌ点．则由EF∥AC，GH=∥AC
图7令EF∥HG，EF=HG．因此，四边形EFGH是平行四边形．
（2）只须BD=AC．由已知条件得∠BLC=900，∠ADL=450
LA=LD，BL=LC．所以，△LBD≌△LCA BD=AC．．再证（3）成立．
由
（2）的结果得∠LBD=∠LCA，立得∠DKC=900，即BK⊥AC．从而，GH⊥HE．由此知四边形EFGH是正方形．
9、解：
（1）如图1所示，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA=∠AFP=90°
，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD=AP，∠DAP=90°
∴∠EAD+∠DAB=90°
，∠DAB+∠BAP=90°
∴∠EAD=∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP=∠FPA，
∴∠EAD=∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
∠DEA=∠AFP=90°
∠EAD=∠FPA
AD=AP，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，
设点D的横坐标为x，由14=2x+6，得x=4，
∴点D的坐标是（4，14）；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
直线y=2x+6向右平移6个单位后的解析式为y=2（x－6）+6=2x－6，
如图2所示，当∠ADP=90°
时，AD=PD，易得D点坐标（4，2）；
如图3所示，当∠APD=90°
时，AP=PD，设点P的坐标为（8，m），
则D点坐标为（14－m，m+8），由m+8=2（14－m）－6，得m=
∴D点坐标（,）
如图4所示，当∠ADP=90°
时，AD=PD时，同理可求得D点坐标（,），综上，符合条件的点D存在，坐标分别为（4，2），（,）．（,）
１０、设x1，x2，…，x2008中有q个0，r个－1，s个1，t个2．（2分）
则－r+s+2t＝200
r+s+4t＝2008①（5分）
两式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）
由x13+x23+…+x20083=－r+s+8t=6t+200，（12分）
得200≤x13+x23+…+x20083≤6×
368+200=2408．（15分）
由方程组①知：
当t=0，s=1104，r=904时，
x13+x23+…+x20083取最小值200；
（17分）
当t=368，s=0，r=536时，
x13+x23+…+x20083取最大值2408．（20分）
１１、
（1）答：
能．
具体操作如下：
（2）答：
理由：
设这2003个数的相邻两数乘积之和为P．
开始时，P0=1×
2+2×
3+3×
4+…+2002×
2003+2003×
1，
经过k（k≥0）次操作后，这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk，
此时若圆周上依次相连的4个数a，b，c，d满足不等式（a－d）（b－c）＞0，即ab+cd＞ac+bd，交换b，c的位置后，
这2003个数的相邻两数乘积之和为Pk+1，有Pk+1－Pk=（ac+cb+bd）－（ab+bc+cd）=ac+bd－ab－cd＜0．
所以Pk+1－Pk≤－1，即每一次操作，相邻两数乘积的和至少减少1，
由于相邻两数乘积总大于0，
故经过有限次操作后，对任意依次相连的4个数a，b，c，d，一定有（a－d）（b－c）≤0．
１２、解：
（1）满足条件．……………5分
（2）因为，，为互质的正整数，且≤8，所以
，即．
当a=1时，，这样的正整数不存在．
当a=2时，，故=1，此时．
当a=3时，，故=2，此时．
当a=4时，，与互质的正整数不存在．
当a=5时，，故=3，此时．
当a=6时，，与互质的正整数不存在．
当a=7时，，故=3，4，5此时，，．
当a=8时，，故=5，此时
所以，满足条件的所有分数为，，，，，，．………………15分
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