计数原理Word文档格式.docx
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答案 共有7×
6＝42种不同的方法.
1.完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×
n种不同的方法.
2.完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有N＝m1×
m2×
…×
mn种不同的方法.
类型一 分类加法计数原理的应用
例1 某校高三共有三个班，其各班人数如下表：
班级
男生数
女生数
总数
高三
（1）
30
20
50
高三
（2）
60
高三（3）
35
55
（1）从三个班中选一名学生任学生会主席，有多少种不同的选法？
（2）从
（1）班、
（2）班男生中或从（3）班女生中选一名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？
解
（1）从三个班中任选一名学生，可分三类：
第1类，从高三
（1）班任选一名学生，有50种不同选法；
第2类，从高三
（2）班任选一名学生，有60种不同选法；
第3类，从高三（3）班任选一名学生，有55种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝50＋60＋55＝165（种）.
（2）由题设知共有三类：
第1类，从
（1）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第2类，从
（2）班男生中任选一名学生，有30种不同选法；
第3类，从（3）班女生中任选一名学生，有20种不同选法.
由分类加法计数原理知，不同的选法共有N＝30＋30＋20＝80（种）.
反思与感悟 1.应用分类加法计数原理时，完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法，都可以独立完成这件事.
2.利用分类加法计数原理解题的一般思路
跟踪训练1 如图，小圆点表示网络的结点，结点之间的连线表示它们由网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点A向结点B传递信息，信息可沿不同的路径同时传递.则单位时间内传递的最大信息量是________.
答案 19
解析 若以网线为标准，则完成“从结点A向结点B传递信息”这件事也可分为四类，从而分解为若干个简单的问题后再各个击破.
分四类：
第一类，网线为12→5→3，单位时间传递的最大信息量是3；
第二类，网线为12→6→4，单位时间传递的最大信息量是4；
第三类，网线为12→6→7，单位时间传递的最大信息量是6；
第四类，网线为12→8→6，单位时间传递的最大信息量是6.根据分类加法计数原理，单位时间内传递最大信息量是N＝3＋4＋6＋6＝19.
类型二 分步乘法计数原理的应用
例2 从－2，－1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为________.
答案 100
解析 由题意知a不能为0，
故a的值有5种选法；
b的值也有5种选法；
c的值有4种选法.
由分步乘法计数原理得：
5×
4＝100（条）.
反思与感悟 1.应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可.
2.利用分步乘法计数原理解题的一般思路：
（1）分步：
将完成这件事的过程分成若干步；
（2）计数：
求出每一步中的方法数；
（3）结论：
将每一步中的方法数相乘得最终结果.
跟踪训练2 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取三个元素分别作为直线方程Ax＋By＋C＝0中的A，B，C，所得直线经过坐标原点的有________条.
答案 30
解析 该题实质上就是给A，B，C赋值.但首先要搞清楚直线过原点所隐含的条件，即C＝0，所以，下面只需安排A，B.从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A，B的值，分为两步：
第一步取一个数作为A，有6种；
第二步从剩下的5个数中取一个数作为B，有5种.
所以由分步乘法计数原理得：
直线的条数为6×
5＝30.
类型三 两个计数原理的综合应用
例3 某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地.
（1）推选1人为总负责人，有多少种不同的选法？
（2）每班选1人为小组长，有多少种不同的选法？
（3）从他们中选出2个人管理生活，要求这2个人不同班，有多少种不同的选法？
解
（1）分三类，第一类是从一班的8名优秀团员中产生，共有8种不同的选法；
第二类是从二班的10名优秀团员中产生，共有10种不同的选法；
第三类是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分类加法计数原理可得，共有N＝8＋10＋6＝24（种）不同的选法.
（2）分三步，第一步从一班的8名优秀团员中选1名组长，共有8种不同的选法，第二步从二班的10名优秀团员中选1名组员，共10种不同的选法.第三步是从三班的6名优秀团员中产生，共6种不同的选法，由分步乘法计数原理可得：
共有N＝8×
10×
6＝480（种）不同的选法.
（3）分三类：
每一类又分两步，第一类是从一班、二班的优秀团员中各选1人，有8×
10种不同的选法；
第二类是从二班、三班的优秀团员中各选1人，有10×
6种不同的选法，第三类是从一班、三班的优秀团员中各选1人，有8×
6种不同的选法，因此，共有N＝8×
10＋10×
6＋8×
6＝188（种）不同的选法.
反思与感悟 1.解题的关键是分清楚是“分类”还是“分步”，如问题
（2）中，要求是每班各选1人为小组长，一班的8种不同选法中的任一种选法只能完成第一步，二班的选法也只能完成第二步，…，所以问题
（2）是要用“分步”来解决问题.（3）中选出的2人来自不同的班级，又共有三个班，故应先分类，再分步方可完成.
2.分类讨论解决问题，必须思维清晰，保证分类标准的唯一性，这样才能保证分类不重复，不遗漏，运用两个原理解答时是先分类后分步还是先分步后分类，应视具体问题而定.
跟踪训练3 高艳有4件不同颜色的衬衣、3件不同花样的裙子，另有2套不同样式的连衣裙.“五一”劳动节需选择一套服装参加歌舞演出，则高艳不同的穿衣服的方式有________种.
解析 穿衣方式分两类：
第一步：
不选连衣裙有4×
3＝12（种）方法.
第二步：
选连衣裙有2种方法.
由分类加法计数原理知，共有12＋2＝14（种）方法.
答案 14
1.某学生在书店发现3本好书，决定至少买其中的1本，则购买方法有（ ）
A.3种B.6种C.7种D.9种
答案 C
解析 分3类，买1本书，买2本书，买3本书，各类的方法依次为3种，3种，1种，故购买方法有3＋3＋1＝7（种）.
2.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A.7B.12C.64D.81
答案 B
解析 要完成配套，分两步：
第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；
第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4×
3＝12（种）不同的配法.
3.把5本书全部借给3名学生，有________种不同的借法.
答案 243
解析 依题意，知每本书应借给三个人中的一个，即每本书都有3种不同的借法，由分步乘法计数原理，得共有N＝3×
3×
3＝35＝243（种）不同的借法.
4.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员的选法有________种.（用数字作答）
答案 9
解析 分为两类：
两名老队员，一名新队员时，有3种选法；
两名新队员、一名老队员时，有2×
3＝6（种）选法，即共有9种不同选法.
5.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
解 依题意得，既会英语、又会日语的有：
7＋3－9＝1（人），6人只会英语，2人只会日语，第一类：
从只会英语的6人中选一人有6种方法，此时，会日语的有2＋1＝3（种），
由分步乘法计数原理可得：
N1＝6×
3＝18（种）.
第二类，不从只会英语的6人中选，只有1种方法，此时会日语的有2种，由分步乘法计数原理可得：
N2＝1×
2＝2（种）.
综上可知，共有18＋2＝20（种）不同的选法.
1.使用两个原理解题的本质
―→―→
2.利用两个计数原理解决实际问题的常用方法
一、选择题
1.某小组有8名男生，4名女生，要从中选取一名当组长，不同的选法有（ ）
A.32种B.9种C.12种D.20种
解析 由分类加法计数原理知，不同的选法有N＝8＋4＝12（种）.
2.现有A，B两种类型的车床各一台，甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都会操作两种车床，丙只会操作A种车床，现在要从这三名工人中选两名分别去操作以上车床，不同的选派方法有（ ）
A.6种B.5种C.4种D.3种
解析 若选甲、乙两人，包括甲操作A车床，乙操作B车床，或甲操作B车床，乙操作A车床，共有2种选派方法.若选甲、丙二人，则只有甲操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法.若选乙、丙二人，则只有乙操作B车床，丙操作A车床这1种选派方法，故共有2＋1＋1＝4（种）不同的选派方法.
3.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（ ）
A.56B.65
C.D.6×
4×
2
答案 A
解析 每位同学都有5种选择，共有5×
5＝56（种）.
4.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同走法种数共有（ ）
A.2＋4＋3B.2×
4＋3
C.2×
3＋4D.2×
3
解析 分两类，一是从甲地经乙地到丙地，有2×
4种，二是直接从甲地到丙地有3种，所以从甲地到丙地的不同走法种数共有2×
4＋3.
5.已知集合M∈{1，－2,3}，N∈{－4,5,6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A.18B.10C.16D.14
答案 D
解析 M中元素作为横坐标，N中元素作为纵坐标，则在第一、
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