级信息安全数学基础试卷B答案Word下载.doc
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评卷人
一.选择题:
(每题2分,共20分)
1.
(1)。
2.(4)。
3.(3)。
4.
(2)。
5.
(2)。
6.(3)。
7.
(2)。
8.(4)。
9.(4)。
10.(3)
二.填空题:
1.设m是正整数,a是满足a|m的整数,则一次同余式:
axº
b(modm)有解的充分必要条件是(a,m)|b。
当同余式axº
b(modm)有解时,其解数为d=(a,m)。
2.设m是正整数,则m个数0,1,2,…,m-1中与m互素的整数的个数叫做m的欧拉(Euler)函数,记做j(m)。
3.整数2t+1和2t-1的最大公因数(2t+1,2t-1)=1。
4.设a,b是正整数,且有素因数分解,,则,
。
5.如果a对模m的指数是j(m),则a叫做模m的原根。
6.设m是一个正整数,a是满足(a,m)=1的整数,则存在整数a¢
,1≤a¢
<m,使得aa¢
≡1(modm)。
7.Wilson定理:
设p是一个素数,则(p-1)!
≡-1(modp)。
8.(中国剩余定理)设m1,…,mk是k个两两互素的正整数,则对任意的整数b1,…,bk同余式组xº
b1(modm1)
…………
xº
bk(modmk)
有唯一解。
令m=m1…mk,m=miMi,i=1,…,k,则同余式组的解为:
x≡M1¢
M1b1+…+Mk¢
Mkbk(modm),
其中Mi¢
Mi≡1(modmi),i=1,2,…,k。
9.正整数n有标准因数分解式为,则n的欧拉函数
。
10.设G和G¢
是两个群,f是G到G¢
的一个映射。
如果对任意的a,b∈G,都有f(ab)=f(a)f(b),那么,f叫做G到G¢
的一个同态。
三.证明题(写出详细证明过程):
(共30分)
1.证明:
形如4k+3的素数有无穷多个。
(6分)
证明分两步证明。
先证形如4k+3的正整数必含形如4k+3的素因数。
由于任一奇素数只能写成4n+1或4n+3的形式,而
(4n1+1)(4n2+1)=16n1n2+4n1+4n2+1
=4(4n1n2+n1+n2)+1,
所以把形如4n+1的数相乘的积仍为4n+1形式的数。
因此,把形如4k+3的整数分解成素数的乘积时,
这些素因数不可能都是4n+1的形式的素数,一定含有
4n+3形式的素数。
其次,设N是任一正整数,并设
p1,p2,…,ps是不超过N的形如4k+3的所有素数。
令q=4p1p2…ps-1。
显然,每个pi(i=1,2,…,s)都
不是q的素因数,否则将会导致pi|1,得到矛盾。
如果q是素数,由于
q=4p1p2…ps-1=4(p1p2…ps-1)+3,即q也是
形如4k+3的素数,并且显然q¹
pi(i=1,2,…,s),
从而q>
N。
即q是形如4k+3的大于N的素数。
如果q不是素数,由第一步证明知q含有形如4k+3
的素因数p,同样可证p¹
pi(i=1,2,…,s),从而p>
即p是形如4k+3的大于N的素数。
由于N是任意的正整数,因此证明了
形如4k+3的素数有无穷多个。
2..设a,b是两个整数,其中b>
0。
则存在唯一一对整数q,r使得a=bq+r,0£
r<
b。
(6分)
证明:
存在性.考虑整数序列:
…,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,…
序列的各项把实数轴划分成长度为b的区间,a一定落在其中的一个区间中。
因此,存在一个整数q使得qb£
a<
(q+1)b,
即0£
a-bq<
令r=a-bq,则有a=bq+r,0£
唯一性.假设还有一对整数q1,r1也满足:
a=bq1+r1,0£
r1<
(2)
(1)和
(2)两式相减得
b(q-q1)=-(r-r1)。
(3)
当q¹
q1时,(3)式左边的绝对值大于等于b,而右边的绝对值小于b,得到矛盾。
故q=q1,r=r1。
3.设p,q是两个不同的奇素数,n=pq,a是与pq互素的整数。
整数e和d满足(e,j(n))=1,edº
1(modj(n)),1<
e<
j(n),1£
d<
j(n)。
对任意整数c,1£
c<
n,若aeº
c(modn),则有cdº
a(modn)。
(12分)
因为(e,j(n))=1,根据2.3定理4,存在整数d,
1≤d<
j(n),使得
ed≡1(modj(n))
因此,存在一个正整数k使得ed=1+kj(n)。
由,a与n=pq互素知,(a,p)=1根据Euler定理,
aj(p)≡1(modp)
两端作k(j(n)/j(p))次幂得,akj(n)≡1(modp)
两端乘以a得到a1+kj(n)≡a(modp)
即aed≡a(modp)
同理,aed≡a(modq)
因为p和q是不同的素数,根据2.1定理12,
aed≡a(modn)
因此,
cd≡(ae)d≡a(modn)
4.证明:
设p和q是两个不相等的素数,证明:
。
(6分)
因为p和q是两个不相等的素数,由Euler定理,,,所以,而,因此。
四.计算题(写出详细计算过程):
1.用模重复平方法计算12996227(mod37909)。
(6分)
设m=37909,b=12996,令a=1,将227写成二进制,
227=1+2+25+26+27
运用模重复平方法,我们依次计算如下:
(1)n0=1,计算
a0=a×
b≡12996,b1≡b2≡11421(mod37909)
(2)n1=1,计算
a1=a0×
b1≡13581,b2≡b12≡32281(mod37909)
(3)n2=0,计算
a2=a1≡13581,b3≡b22≡20369(mod37909)
(4)n3=0,计算
a3=a2≡13581,b4≡b32≡20065(mod37909)
(5)n4=0,计算
a4=a3≡13581,b5≡b42≡10645(mod37909)
(6)n5=1,计算
a5=a4×
b5≡22728,b6≡b52≡6024(mod37909)
(7)n6=1,计算
a6=a5×
b6≡24073,b7≡b62≡9663(mod37909)
(8)n7=1,计算
a7=a6×
b7≡7775(mod37909)
最后,计算出
12996227≡7775(mod37909)
2.设a=-1859,b=1573,运用广义欧几里得除法
(1)计算(a,b);
(2)求整数s,t使得sa+tb=(a,b)。
(8分)
737=1•635+102,102=737-1•635
635=6•102+23,23=635-6•102
102=4•23+10,10=102-4•23
23=2•10+3,3=23-2•10
10=3•3+1,1=10-3•3
1=10-3•3
=(102-4•23)-3(23-2•10)
=102-7•23+6•10
=102-7•23+6(102-4•23)
=7•102-31•23
=7•102-31•(635-6•103)
=193•102-31•635
=193•(737-1•635)-31•635
=193•737-224•635
所以s=193,t=-224,使得
193•737+(-224)•635=1。
3.运用中国剩余定理和欧拉定理计算21000000(mod77)。
(16分)
利用2.4定理1(Euler定理)及中国剩余定理计算。
令x=21000000,因为77=7·
11,所以,
计算x=21000000(mod77)等价于求解同余式组