第六章：多元函数积分学(上)Word格式文档下载.doc

第六章：多元函数积分学(上)Word格式文档下载.doc

《第六章：多元函数积分学(上)Word格式文档下载.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六章：多元函数积分学(上)Word格式文档下载.doc（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1．．

2．（其中为常数）．

3．，其中为区域的面积．

4．若区域被有限条曲线分为两个区域，则

5．在区域上若，则

特别地

6．（估值定理）若在区域上，表示区域的面积，则

7．（积分中值定理）设函数在闭域上连续，表示区域的面积，则在上至少存在一点，使得

[例1.1]设，，，则

（A）（B）

（C）（D）

解：

由于，由二重积分几何意义知，表示曲顶柱体的体积，而，从而；

又因为在上，所以由二重积分保号性定理可知，故应选（D）．

[例1.2]估计积分的值，则正确的是

（A）（B）

（C）（D）

记，则的面积

由于在区域上恒有

所以由估值定理可得

，即，故应选（C）．

[例1.3]设区域为中心在原点，半径为的圆域，则

（A）（B）（C）（D）

由积分中值定理可知，内至少存在一点，使得

于是原式，故应选（B）．

三、二重积分的计算

1．利用对称性计算

命题1：

若积分区域关于轴对称，则

其中是在轴上方或下方部分

命题2：

其中是在轴左方或右方部分

命题3：

若积分区域关于直线对称，则

为在直线的上方或下方部分．

2．利用直角坐标系计算

若积分区域是型域，其不等式表示为

则

3．利用极坐标计算

如果区域包含极点，则

如果区域的边界穿过极点，则

如果区域远离极点，则

评注：

⑴如果区域是圆、圆环、扇形域，而被积函数为形式，一定用极坐标计算；

⑵如果利用直角坐标系计算二重积分，应适当选取积分的先后次序，选取的原则是：

“先积的积分比后积的积分要简单”．

[例1.4]设，则下列四个等式中不成立的是

（A）（B）

（C）（D）

（A）是正确的．因为积分区域对称于轴，而被积函数是关于的奇函数，所以积分值为零；

（B）、（D）正确．因为积分区域对称于轴和轴，被积函数关于、都是偶函数．利用对称性可知此选项正确；

（C）不成立，积分区域虽对称于轴和轴，但被积函数关于、都是奇函数，因此等式左端的积分值应为0，而右端的积分值大于零．故应选（C）．

[例1.5]计算，其中由抛物线及直线所围成的区域．

见图

．

[例1.6]计算，其中是由中心在原点、半径为的圆周围成的闭区域．

分析：

由于积分域是圆域，被积函数形如，故选极坐标计算

．

四、二重积分的应用

1．几何应用

设曲面由方程给出，为曲面在平面上的投影区域，函数在上有连续一阶偏导数，则曲面面积

．

2．设有一平面型的物体，在平面上占有区域，其上每一点的面密度为，在平面上点处有一质量为的质点，则

⑴该物体的质量为：

⑵该物体的质心坐标为：

，

⑶该物体绕轴的转动惯量

绕轴的转动惯量：

绕直线的转动惯量：

⑷该物体对质点的引力为：

，．

●●常考题型及其解法与技巧

一、概念、性质的理解

[例6.1.1]设，其中

，则

（A）（B）

由于积分区域相同，所以积分的大小可以通过被积函数的大小来确定．

由于，在直线的左下方，所以区域内的点都满足，因此，所以，根据积分的“保号性定理”可得．故应选（A）．

[例6.1.2]平面区域，并设

，，则有

，而积分区域关于都是对称的，所以；

又因为在积分区域上，，，所以

，，

故应选（B）．

二、交换积分次序

Ⅰ直角坐标系中变更积分次序

直角坐标系中变更积分次序解题的一般思路：

①写出对应的二重积分积分域的不等式；

②画出的草图；

③根据图形写出另一种次序下的二次积分．

[例6.1.3]交换积分次序，则．

该二次积分对应的二重积分的积分区域为

，其不等式为

画出的草图，右图所示

因此交换积分次序后的二次积分为

．

[例6.1.4]交换二次积分次序．

对应的二重积分积分区域的不等式为，则

其中，

画出的草图，右图所示

．

Ⅱ不同坐标系下二次积分的互换

此类题解题的一般思路：

③根据图形写出另一种坐标系下的二次积分．

[例6.1.5]变换积分为极坐标系下的二次积分为．

由已给积分限可知积分区域由圆周和直线围成．

在极坐标系下，和直线化为和．故

[例6.1.6]在极坐标系下的二次积分

在直角坐标系下可写成

（A）（B）

（C）（D）

在极坐标系下，区域的不等式为

所以在直角坐标系下的二次积分为

故应选（C）．

三、计算二重积分

计算二重积分的一般思路：

①画出区域的草图；

②根据区域的特点利用对称性化简二重积分；

③选择坐标系；

④选择积分的先后次序；

⑤确定二次积分的上、下限，作定积分运算．

Ⅰ积分域关于坐标轴或直线对称的二重积分

此类积分一般应先利用二重积分的对称性进行化简．

[例6.1.7]设是平面上以和为顶点的三角形域，是在第一象限的部分，则等于

（C）（D）

画出的草图，如下图所示

由于关于轴对称，所以

，

故应选（A）．

[例6.1.8]设为区间的正值连续函数，为任意常数，区域

，则．

（A）（B）（C）（D）

画出的草图，如右下图所示．

区域关于直线对称，，而函数，满足，所以，即

所以．

[例6.1.9]设区域由曲线，直线与围成，计算二重积分

．

用曲线将分为如图所示的，

显然

且关于轴对称，关于轴对称

利用二重积分的对称性可得

Ⅱ被积函数是分段函数的二重积分

此类积分解题的一般思路：

⑴利用积分域内的分段线将积分域划分，把二重积分表示成几个分段域上的二重积分的和；

⑵求各个分段域上的二重积分．

[例6.1.10]设，表示不超过

的最大整数.计算二重积分

由于，故二重积分是分段函数的二重积分，为此用积分域内的分段线将积分区域分为两部分．其中

.

则=

=

[例6.1.11]计算二重积分，其中.

被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待．利用分段函数二重积分的解题思路完成．.

用积分域中的分段线将划分为两部分．

其中

于是=

=

=+=

[例6.1.12]设二元函数

计算二重积分，其中．

此二重积分的计算应先用对称性化简，然后根据分段函数二重积分的计算方法完成．

设区域在第一象限的部分为，由对称性可得

记为与轴轴所围部分，为挖掉剩余部分

Ⅲ其它

[例6.1.13]求下列二重积分

（1），其中是由抛物线，直线所围成的平面闭区域；

（2），其中是由直线及轴所围的闭区域．

（1）画出的草图，如右下图所示．

由图可知此二重积分的计算应利用直角坐标完成．

又由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，所以应化

为先对后对的二次积分．

故

；

（2）画出的草图，如右下图所示．

又由于函数的原函数不能用初等函数表示，所以应化

．

[例6.1.14]求下列二重积分

（1），；

（2），为圆所包围的在第一象限内的区域．

由图形和被积函数的特点可知此二重积分需用极坐标来计算．

故

．

四、计算二次积